📂複素解析

放物線を半平面に対応させる等角写像

定理 ¹

等角写像 $\displaystyle w = f(z) = z^{1/2}$ は放物線を半平面に対応させる。

説明

$\mathbb{R}^2$ で学んだように、明らかに思えるかもしれんが、複素平面でも成り立つかチェックが必要だ。きれいに縦軸を基準に分けたいなら、$\xi = w - a$ をもう一度取るだけでいい。

証明

$$ z = x + i y \\ w = u + i v $$ とすると $$ z = w^2 = (u + iv)^2 = u^2 - v^2 + i 2 uv = x + iy $$ だから $$ 4 u^2 (u^2 - x ) = y^2 $$ したがって、$y^2 = 4 a^2 (a^2 - x )$ は $Z$-平面の放物線で、$f$ により $W$-平面上の直線 $u=a$ に対応する。

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