放物線を半平面に対応させる等角写像
📂複素解析放物線を半平面に対応させる等角写像
定理

等角写像 w=f(z)=z1/2 は放物線を半平面に対応させる。
説明
R2 で学んだように、明らかに思えるかもしれんが、複素平面でも成り立つかチェックが必要だ。きれいに縦軸を基準に分けたいなら、ξ=w−a をもう一度取るだけでいい。
証明
z=x+iyw=u+iv とすると
z=w2=(u+iv)2=u2−v2+i2uv=x+iy だから
4u2(u2−x)=y2
したがって、y2=4a2(a2−x) は Z-平面の放物線で、f により W-平面上の直線 u=a に対応する。
■