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放物線を半平面に対応させる等角写像 📂複素解析

放物線を半平面に対応させる等角写像

定理 1

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等角写像 w=f(z)=z1/2\displaystyle w = f(z) = z^{1/2} は放物線を半平面に対応させる。

説明

R2\mathbb{R}^2 で学んだように、明らかに思えるかもしれんが、複素平面でも成り立つかチェックが必要だ。きれいに縦軸を基準に分けたいなら、ξ=wa\xi = w - a をもう一度取るだけでいい。

証明

z=x+iyw=u+iv z = x + i y \\ w = u + i v とすると z=w2=(u+iv)2=u2v2+i2uv=x+iy z = w^2 = (u + iv)^2 = u^2 - v^2 + i 2 uv = x + iy だから 4u2(u2x)=y2 4 u^2 (u^2 - x ) = y^2 したがって、y2=4a2(a2x)y^2 = 4 a^2 (a^2 - x )ZZ-平面の放物線で、ff により WW-平面上の直線 u=au=a に対応する。


  1. Osborne (1999). Complex variables and their applications: p214. ↩︎