📂整数論

原始ピタゴラスの三つ組は二つの奇数のみで表すことができる

定理 ¹

$a^2 + b^2 = c^2$を満たす自然数の組$a,b,c$に対して、 $$\begin{align*} a =& st \\ b =& {{s^2 - t^2 } \over {2}} \\ c =& {{s^2 + t^2 } \over {2}} \end{align*}$$ を満たす互いに素な二つの奇数$s>t$が存在する。

説明

この定理によると、‘ピタゴラスの三つ組’という言葉はある程度誤解を招くものになる。変数を減らすことができるということは、どの科目においても必ず良いことだ。

証明

$(a,b,c)$がピタゴラスの三つ組であるから、$a^2 + b^2 = c^2$が成立する。$a$か$b$が偶数の場合、$a,b$が全て偶数であると、$c^{2} = a^{2} + b^{2}$も偶数になり、$(a,b,c)$は共通の約数$2$を持ち、これはそれが原始的なピタゴラスの三つ組であるという前提に反する。一般性を失わずに、$a$を奇数、$b$を偶数としよう。

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パート1. $\gcd \left( c-b, c+b \right) =1$

$(a,b,c)$がピタゴラスの三つ組であるので、$a^2 + b^2 = c^2$である。$b^2$を右側に移動すると $$a^2 = c^2 - b^2 = (c+b)(c-b)$$ もし$b$と$c$が共通の約数$d_{1} \ne 1$を持つならば、$a^{2}$はある$B_{1},C_{1}$に対して $$a^{2} = c^{2} - b^{2} = d_{1}^{2} \left( C_{1}^{2} - B_{1}^{2} \right)$$ と表せるので、$a$も$d_{1}$の倍数になり、それが原始的なピタゴラスの三つ組であるという仮定に反する。従って、$b$と$c$は互いに素である。また、$(c+b)$と$(c-b)$が共通の約数$d_{2} \ne 1$を持つと仮定してみると、$d_{2}$は $$2b = (c+b) - (c-b) \\ 2c = (c+b) + (c-b)$$ の約数であり、$b$と$c$が互いに素であるので、$d_{2} = 2$でなければならない。しかし、同様にして、ある$C_{2} , B_{2}$に対して $$a^{2} = c^{2} - b^{2} = d_{2}^{2} \left( C_{2}^{2} - B_{2}^{2} \right)$$ と表せるので、$d_{2} = 2$は$a$の約数であり、これは$a$が奇数であることに反する。

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パート2. $s,t$の定義

$a$の二乗、$a^{2}$が$(c-b)$と$(c+b)$の積のように $$a^{2} = (c-b)(c+b)$$ 表されるならば、パート1で$(c-b)$と$(c+b)$は互いに素であったことから、それぞれ何らかの数$s,t$の二乗である必要がある。ここで $$s^2 := c + b \\ t^2 := c - b$$ とすると、$b$が偶数で$c$が奇数であるので、$s,t$は以下を満たす互いに素な奇数のペアである。 $$st = \sqrt{(c-b)(c+b)} = a \\ {{s^2 - t^2 } \over {2}} = b \\ {{s^2 + t^2 } \over {2}} = c$$

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パート3. 確認

$$\begin{align*} \left( st \right)^{2} + \left( {{ s^{2} - t^{2} } \over { 2 }} \right)^{2} &= s^{2} t^{2} + {{ s^{4} - 2 s^{2} t^{2} + t^{4} } \over { 4 }} \\ =& {{ s^{4} + 2 s^{2} t^{2} + t^{4} } \over { 4 }} \\ =& \left( {{s^2 + t^2 } \over {2}} \right)^{2} \end{align*}$$ さらに、原始的なピタゴラス数は$s,t$を使って表されるとき、次のを満たす。 $$\gcd \left( st , {{ s^{2} - t^{2} } \over { 2 }} \right) = 1 \\ \gcd \left( {{ s^{2} - t^{2} } \over { 2 }} , {{ s^{2} + t^{2} } \over { 2 }} \right) = 1 \\ \gcd \left( {{ s^{2} + t^{2} } \over { 2 }} , st \right) = 1$$ 従って、$\displaystyle st, {{s^2 - t^2 } \over {2}}, {{s^2 + t^2 } \over {2}}$は原始的なピタゴラスの三つ組である。

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