logo

複素解析における交差比 📂複素解析

複素解析における交差比

定義 1

拡張複素平面上で、四つの異なる点 z1,z2,z3,z4C z_{1} , z_{2} , z_{3} , z_{4} \in \overline{ \mathbb{C} } に対して、次のように交差比クロス・レイシオを定義する。 (z1,z2,z3,z4)=(z1z4)(z3z2)(z1z2)(z3z4) (z_{1} , z_{2} , z_{3} , z_{4} ) = {{( z_{1} - z_{4})( z_{3} - z_{2})} \over {(z_{1} - z_{2}) ( z_{3} - z_{4}) } }

説明

ちょっと形を変えて (z1,z2,z3,z)=(z3z2)(z1z2)(zz1)(zz3)\displaystyle (z_{1} , z_{2} , z_{3} , z ) = {{( z_{3} - z_{2}) } \over {(z_{1} - z_{2})} } \cdot {{ ( z - z_{1}) } \over { ( z - z_{3}) } } とすると、 (z1,z2,z3,z1)=0(z1,z2,z3,z2)=1(z1,z2,z3,z3)= (z_{1} , z_{2} , z_{3} , z_{1} ) = 0 \\ (z_{1} , z_{2} , z_{3} , z_{2} ) = 1 \\ (z_{1} , z_{2} , z_{3} , z_{3} ) = \infty 成り立って、少なくとも三つの点が出てくることから、円や直線を扱う際に使われることが容易に想像できる。

ここでのキーポイントは次の性質です。

定理

交差比は双一次変換に対して不変である。

証明

双一次変換を ff とし、交差比を g(z)=(z1,z2,z3,z)g(z) = (z_{1} , z_{2} , z_{3} , z ) とすると、 g(f1(w1))=g(z1)=0g(f1(w2))=g(z2)=1g(f1(w3))=g(z3)= g ( f^{-1} (w_{1}) ) = g (z_{1}) = 0 \\ g ( f^{-1} (w_{2}) ) = g (z_{2}) = 1 \\ g ( f^{-1} (w_{3}) ) = g (z_{3}) = \infty つまり、gf1g \circ f^{-1}w1,w2,w3,w4Cw_{1} , w_{2} , w_{3} , w_{4} \in \overline{ \mathbb{C} } に対する交差比になる。従って、 (z1,z2,z3,z4)=g(z4)=g(f1(w4))=(w1,w2,w3,w4) ( z_{1} , z_{2} , z_{3} , z_{4} ) = g(z_{4}) = g ( f^{-1} (w_{4} ) ) = ( w_{1} , w_{2} , w_{3} , w_{4} )


  1. Osborne (1999). Complex variables and their applications: p204. ↩︎