📂複素解析

複素解析における交差比

定義 ¹

拡張複素平面上で、四つの異なる点 $ z_{1} , z_{2} , z_{3} , z_{4} \in \overline{ \mathbb{C} }$ に対して、次のように交差比^{クロス・レイシオ}を定義する。 $$ (z_{1} , z_{2} , z_{3} , z_{4} ) = {{( z_{1} - z_{4})( z_{3} - z_{2})} \over {(z_{1} - z_{2}) ( z_{3} - z_{4}) } } $$

説明

ちょっと形を変えて $\displaystyle (z_{1} , z_{2} , z_{3} , z ) = {{( z_{3} - z_{2}) } \over {(z_{1} - z_{2})} } \cdot {{ ( z - z_{1}) } \over { ( z - z_{3}) } }$ とすると、 $$ (z_{1} , z_{2} , z_{3} , z_{1} ) = 0 \\ (z_{1} , z_{2} , z_{3} , z_{2} ) = 1 \\ (z_{1} , z_{2} , z_{3} , z_{3} ) = \infty $$ 成り立って、少なくとも三つの点が出てくることから、円や直線を扱う際に使われることが容易に想像できる。

ここでのキーポイントは次の性質です。

定理

交差比は双一次変換に対して不変である。

証明

双一次変換を $f$ とし、交差比を $g(z) = (z_{1} , z_{2} , z_{3} , z )$ とすると、 $$ g ( f^{-1} (w_{1}) ) = g (z_{1}) = 0 \\ g ( f^{-1} (w_{2}) ) = g (z_{2}) = 1 \\ g ( f^{-1} (w_{3}) ) = g (z_{3}) = \infty $$ つまり、$g \circ f^{-1}$ は $w_{1} , w_{2} , w_{3} , w_{4} \in \overline{ \mathbb{C} }$ に対する交差比になる。従って、 $$ ( z_{1} , z_{2} , z_{3} , z_{4} ) = g(z_{4}) = g ( f^{-1} (w_{4} ) ) = ( w_{1} , w_{2} , w_{3} , w_{4} ) $$

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