距離空間の第一可算性と第二可算性
📂位相幾何学距離空間の第一可算性と第二可算性
概要
説明
位相数学でいろんな抽象的な空間を見た後、距離空間がどれだけ便利でいい空間か気づくよ。
証明
距離空間(X,d)についてx∈Xとすると、
{Bd(x,n1) n∈N}
はxにとっての可算な局所基底であるから、Xは第一可算である。
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距離空間(X,d)が可算であり密なA⊂Xがあるとすると、Xは可分な距離空間である。Aが可算であるから、
B:={Bd(a,n1) a∈A,n∈N}=a∈A⋃{Bd(x,n1) n∈N}
も可算である。これBがXの基底であることを示せば、証明は完了だ。
Xの開集合Uに対してx∈Uとすると、Bd(x,r)⊂Uを満たすr>0が存在する。逆数がrの半分より小さくなる、つまりnx1<2rを満たすnx∈Nを選ぶ。Aが密であるから、
ax∈A∩Bd(x,nx1)
が存在する。すると、
Bd(ax,nx1)∈B
があり、
x∈Bd(ax,nx1)⊂Bd(x,r)⊂U
だからU=x∈U⋃Bd(ax,nx1)である。
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これら二つの定理を通じて、次の事実を知ることができる。
結果
ユークリッド空間とヒルベルト空間は第二可算である。