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距離空間の第一可算性と第二可算性 📂位相幾何学

距離空間の第一可算性と第二可算性

概要

説明

位相数学でいろんな抽象的な空間を見た後、距離空間がどれだけ便利でいい空間か気づくよ。

証明

1

距離空間(X,d)\left( X , d \right)についてxXx \in Xとすると、 {Bd(x,1n)  nN} \left\{ \left. B_{d} \left(x , {{1} \over {n}} \right) \ \right| \ n \in \mathbb{N} \right\} xxにとっての可算な局所基底であるから、XXは第一可算である。

2

距離空間(X,d)\left( X , d \right)が可算であり密なAXA \subset Xがあるとすると、XXは可分な距離空間である。AAが可算であるから、 B:={Bd(a,1n)  aA,nN}=aA{Bd(x,1n)  nN} \mathscr{B} := \left\{ \left. B_{d} \left(a , {{1} \over {n}} \right) \ \right| \ a \in A, n \in \mathbb{N} \right\} = \bigcup_{ a \in A } \left\{ \left. B_{d} \left(x , {{1} \over {n}} \right) \ \right| \ n \in \mathbb{N} \right\} も可算である。これB\mathscr{B}XXの基底であることを示せば、証明は完了だ。

XXの開集合UUに対してxUx \in Uとすると、Bd(x,r)UB_{d} \left( x , r \right) \subset Uを満たすr>0r>0が存在する。逆数がrrの半分より小さくなる、つまり1nx<r2\displaystyle {{1} \over {n_{x}}} < {{r} \over {2}}を満たすnxNn_{x} \in \mathbb{N}を選ぶ。AAが密であるから、 axABd(x,1nx) a_{x} \in A \cap B_{d} \left( x , {{1} \over {n_{x}}} \right) が存在する。すると、 Bd(ax,1nx)B B_{d} \left( a_{x} , {{1} \over {n_{x}}} \right) \in \mathscr{B} があり、 xBd(ax,1nx)Bd(x,r)U x \in B_{d} \left( a_{x} , {{1} \over {n_{x}}} \right) \subset B_{d} \left( x , r \right) \subset U だからU=xUBd(ax,1nx)\displaystyle U = \bigcup_{x \in U} B_{d} \left( a_{x} , {{1} \over {n_{x}}} \right)である。

これら二つの定理を通じて、次の事実を知ることができる。

結果

ユークリッド空間とヒルベルト空間は第二可算である。