距離空間の第一可算性と第二可算性
概要
説明
位相数学でいろんな抽象的な空間を見た後、距離空間がどれだけ便利でいい空間か気づくよ。
証明
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距離空間$\left( X , d \right)$について$x \in X$とすると、 $$ \left\{ \left. B_{d} \left(x , {{1} \over {n}} \right) \ \right| \ n \in \mathbb{N} \right\} $$ は$x$にとっての可算な局所基底であるから、$X$は第一可算である。
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2
距離空間$\left( X , d \right)$が可算であり密な$A \subset X$があるとすると、$X$は可分な距離空間である。$A$が可算であるから、 $$ \mathscr{B} := \left\{ \left. B_{d} \left(a , {{1} \over {n}} \right) \ \right| \ a \in A, n \in \mathbb{N} \right\} = \bigcup_{ a \in A } \left\{ \left. B_{d} \left(x , {{1} \over {n}} \right) \ \right| \ n \in \mathbb{N} \right\} $$ も可算である。これ$\mathscr{B}$が$X$の基底であることを示せば、証明は完了だ。
$X$の開集合$U$に対して$x \in U$とすると、$B_{d} \left( x , r \right) \subset U$を満たす$r>0$が存在する。逆数が$r$の半分より小さくなる、つまり$\displaystyle {{1} \over {n_{x}}} < {{r} \over {2}}$を満たす$n_{x} \in \mathbb{N}$を選ぶ。$A$が密であるから、 $$ a_{x} \in A \cap B_{d} \left( x , {{1} \over {n_{x}}} \right) $$ が存在する。すると、 $$ B_{d} \left( a_{x} , {{1} \over {n_{x}}} \right) \in \mathscr{B} $$ があり、 $$ x \in B_{d} \left( a_{x} , {{1} \over {n_{x}}} \right) \subset B_{d} \left( x , r \right) \subset U $$ だから$\displaystyle U = \bigcup_{x \in U} B_{d} \left( a_{x} , {{1} \over {n_{x}}} \right)$である。
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これら二つの定理を通じて、次の事実を知ることができる。
結果
ユークリッド空間とヒルベルト空間は第二可算である。