距離空間の第一可算性と第二可算性
定理
説明
位相数学であらゆる抽象的な空間を見た後では、距離空間がどれほど便利で良い空間であるかを実感するようになる。
証明
1
距離空間$\left( X , d \right)$について$x \in X$とすると $$ \left\{ \left. B_{d} \left(x , {{1} \over {n}} \right) \ \right| \ n \in \mathbb{N} \right\} $$ は$x$に対する可算局所基底であるため、$X$は第一可算である。
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2
距離空間$\left( X , d \right)$が可算かつ稠密な$A \subset X$が存在するとすると、$X$は可分距離空間である。$A$が可算であるため $$ \mathscr{B} := \left\{ \left. B_{d} \left(a , {{1} \over {n}} \right) \ \right| \ a \in A, n \in \mathbb{N} \right\} = \bigcup_{ a \in A } \left\{ \left. B_{d} \left(x , {{1} \over {n}} \right) \ \right| \ n \in \mathbb{N} \right\} $$ もまた可算である。この$\mathscr{B}$が$X$の基底であることを示せば証明は終わる。
$X$の開集合$U$について$x \in U$とすると$B_{d} \left( x , r \right) \subset U$を満たす$r>0$が存在する。逆数が$r$の半分より小さくなる、すなわち$\displaystyle {{1} \over {n_{x}}} < {{r} \over {2}}$を満たす$n_{x} \in \mathbb{N}$を取ろう。$A$が稠密であるため、 $$ a_{x} \in A \cap B_{d} \left( x , {{1} \over {n_{x}}} \right) $$ を満たす$a_{x}$が存在する。すると $$ B_{d} \left( a_{x} , {{1} \over {n_{x}}} \right) \in \mathscr{B} $$ であり $$ x \in B_{d} \left( a_{x} , {{1} \over {n_{x}}} \right) \subset B_{d} \left( x , r \right) \subset U $$ であるため$\displaystyle U = \bigcup_{x \in U} B_{d} \left( a_{x} , {{1} \over {n_{x}}} \right)$である。
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これら二つの定理を通じて次の事実がわかる。