📂位相幾何学

第一加算と第二加算

定義 ¹

位相空間 $X$ が与えられているとしよう。

1. すべての点 $x \in X$ に対して可算局所基底が存在するならば、第一可算空間という。
2. $X$ が可算基底を持っているならば、第二可算空間という。

説明

基底と局所基底という概念を通じて、可算の新しい枝分かれを作り出したと見ることができる。

第一可算にならない例

離散空間 $\left( \mathbb{R} , \mathscr{T}_{f} \right)$ は第一可算にならず、言うまでもなく第二可算にもならない。

直感的な理解

正確な説明ではないが、第一可算はすべての点で開集合が数えられるほど存在する感じで受け取ることができる。一方で第二可算は、可算集合が全体を包含する感覚で、可分の概念と似ている。第一可算と第二可算は、第一類＆第二類とは異なり、お互いに否定ではなく、包含関係にある。これは基底と局所基底の関係を考えれば、容易に確認できる。また、先に第二可算が可分の概念と似ていると言ったが、実際に真の可分であることも示すことができる。

定理

証明

第二可算空間は第一可算である

$X$ を第二可算空間とすると、$X$ は可算基底 $\mathscr{B}$ を持つだろう。

基底と局所基底の関係: $\mathscr{B}$ が$X$ の基底ならば、$\mathscr{B}_{x} := \left\{ B \in \mathscr{B} \ | \ x \in B \right\}$ は $x \in X$ の局所基底である。

$\mathscr{B}_{x} = \left\{ B \in \mathscr{B} \ | \ x \in B \right\}$ はすべての $x \in X$ に対して可算であるから、$X$ は第一可算である。

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第二可算空間は可分である

$X$ を第二可算空間としよう。$X$ は可算基底 $\mathscr{B}$ を持つ。すべての空でない集合 $B \in \mathscr{B}$ に対して $x_{B} \in B$ を選んで $D : = \left\{ x_{B} \in B \ | \ \emptyset \ne B \in \mathscr{B} \right\}$ を定義しよう。$D$ は可算基底である $\mathscr{B}$ から要素を一つずつ選んだ集合だから、$D$ もまた可算であり、$\overline{D} = X$ を示せば証明は終わりだ。

$U$ が $x \in X \setminus D$ を含む開集合だとしよう。

$\mathscr{B}$ が $X$ の基底であるから、$x \in B \subset U$ を満たす $B \in \mathscr{B}$ が存在するだろう。$x_{B} \in B \cap D$ かつ $x \notin D$ だから、 $$ D \cap (B \setminus \left\{ x \right\} ) \ne \emptyset $$ になる。前にも述べたように、$B \subset U$ だから $$ D \cap (U \setminus \left\{ x \right\} ) \ne \emptyset $$ でもなお成立する。集積点の定義によれば、$x$ は $D$ の集積点であり、$x \in \overline{D}$ だから、$X \setminus D \subset \overline{D}$ が成り立つ。もちろん、$D \subset \overline{D}$ だから、これを同時に満たすためには、$X = \overline{D}$ でなければならない。

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