📂位相幾何学

第一可算と第二可算

定義 ¹

位相空間 $X$が与えられているとしよう。

1. すべての点$x \in X$に対して可算な局所基底が存在すれば第一可算空間という。
2. $X$が可算な基底を持てば第二可算空間という。

説明

基底と局所基底という概念を通じて可算の新しい分岐を作り出したと考えればよい。

第一可算になれない例

余有限空間 $\left( \mathbb{R} , \mathscr{T}_{f} \right)$は第一可算になれず、言うまでもなく第二可算にもなれない。

直観的な理解

正確な説明ではないが、第一可算はすべての点で開集合が数えられるほど存在する感覚として受け取ることができる。一方、第二可算は可算集合が全体を包み込むというセンスにおいて可分の概念に似ている。第一可算と第二可算は第一範疇 & 第二範疇とは異なり互いに否定ではなく、包含関係を持つ。これは基底と局所基底の間の関係を考えてみれば難しくなく確認できる。ところで、先ほど第二可算が可分の概念に似ていると述べたが、実はそれだけでなく本当に可分であることを示すこともできる。

定理

証明

第二可算空間は第一可算である

$X$を第二可算空間とすれば、$X$は可算基底$\mathscr{B}$を持つだろう。

基底と局所基底の関係: $\mathscr{B}$が$X$の基底ならば$\mathscr{B}_{x} := \left\{ B \in \mathscr{B} \ | \ x \in B \right\}$は$x \in X$の局所基底である。

$\mathscr{B}_{x} = \left\{ B \in \mathscr{B} \ | \ x \in B \right\}$はすべての$x \in X$に対して可算であるから、$X$は第一可算である。

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第二可算空間は可分である

$X$を第二可算空間とすれば、$X$は可算基底$\mathscr{B}$を持つだろう。すべての空集合でない$B \in \mathscr{B}$に対して$x_{B} \in B$を選び、$D : = \left\{ x_{B} \in B \ | \ \emptyset \ne B \in \mathscr{B} \right\}$を定義しよう。$D$は可算基底である$\mathscr{B}$から要素を一つずつ取ってきた集合であるから$D$もまた可算であり、$\overline{D} = X$であることを示せば証明は終わる。

$U$が$x \in X \setminus D$を含む開集合であるとしよう。

$\mathscr{B}$が$X$の基底であるから$x \in B \subset U$を満たす$B \in \mathscr{B}$が存在するだろう。$x_{B} \in B \cap D$であり$x \notin D$であるから $$ D \cap (B \setminus \left\{ x \right\} ) \ne \emptyset $$ である。先ほど述べたように$B \subset U$であるから $$ D \cap (U \setminus \left\{ x \right\} ) \ne \emptyset $$ が依然として成り立つ。集積点の定義により$x$は$D$の集積点であり$x \in \overline{D}$であるから$X \setminus D \subset \overline{D}$である。もちろん$D \subset \overline{D}$であるから、これを同時に満たすには$X = \overline{D}$でなければならない。

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