複素解析における等角写像とは？
定義 1
関数$f: A \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}$が$\mathscr{R} \subset A$で解析的であり、すべての$z \in \mathscr{R}$に対して$f ' (z) \ne 0$を満たす場合、$f$とすると等角写像conformal mappingまたは等角変換conformal transformという。一方で、$f ' (\alpha) = 0$を満たす点$\alpha$が存在する場合、$\alpha$を$f$の臨界点critical pointという。
説明
等角等角という漢字そのまま、等角変換を取ると形状が作る角が保持される。
その名の通り、等角写像同士の合成は等角写像であるという事実を覚えておこう。証明は、以下の対偶を確認することで十分だ。 $$ (f \circ g) ' = f '(g) g' = 0 \iff g' = 0 \lor f ' = 0 $$
このような等角変換は、単純閉路を多く扱う複素解析において非常に重要で、積分経路を扱うときに便利に使われる。幾何学的には、臨界点を考えると、つまり完全に停止するために方向を変えなければならない、つまり折れる点と言える。一方、解析的で単射である関数は、以下の二つの重要な性質を持つ。
基本性質 1
- [1]: もし関数$f$が$\mathscr{R}$で解析的であり単射ならば、すべての$z \in \mathscr{R}$で$f ' (z) \ne 0$が成り立つ。言い換えると、$f$は等角写像である。
- [2]: もし関数$f$が$\mathscr{R}$で解析的であり単射であり、単純閉路$\mathscr{C}$を$\mathscr{C} ' $に対応させる場合、$f$は$\mathscr{C}$内部の点を$\mathscr{C} ' $の内部か外部のみに対応させる。
- [1]で必要十分条件ではないことに注意しよう。[2] は特に重要な性質であって、$\mathscr{C}$内部の一点だけチェックすれば、他の点が$\mathscr{C} ' $の内部に行くか外部に行くかがわかる。