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複素解析における等角写像とは? 📂複素解析

複素解析における等角写像とは?

定義 1

関数f:ACCf: A \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}RA\mathscr{R} \subset A解析的であり、すべてのzRz \in \mathscr{R}に対してf(z)0f ' (z) \ne 0を満たす場合、ffとすると等角写像conformal mappingまたは等角変換conformal transformという。一方で、f(α)=0f ' (\alpha) = 0を満たす点α\alphaが存在する場合、α\alphaff臨界点critical pointという。

説明

等角等角という漢字そのまま、等角変換を取ると形状が作る角が保持される。

その名の通り、等角写像同士の合成は等角写像であるという事実を覚えておこう。証明は、以下の対偶を確認することで十分だ。 (fg)=f(g)g=0    g=0f=0 (f \circ g) ' = f '(g) g' = 0 \iff g' = 0 \lor f ' = 0

このような等角変換は、単純閉路を多く扱う複素解析において非常に重要で、積分経路を扱うときに便利に使われる。幾何学的には、臨界点を考えると、つまり完全に停止するために方向を変えなければならない、つまり折れる点と言える。一方、解析的で単射である関数は、以下の二つの重要な性質を持つ。

基本性質 1

  • [1]: もし関数ffR\mathscr{R}解析的であり単射ならば、すべてのzRz \in \mathscr{R}f(z)0f ' (z) \ne 0が成り立つ。言い換えると、ffは等角写像である。
  • [2]: もし関数ffR\mathscr{R}解析的であり単射であり、単純閉路C\mathscr{C}C\mathscr{C} ' に対応させる場合、ffC\mathscr{C}内部の点をC\mathscr{C} ' の内部か外部のみに対応させる。

  • [1]で必要十分条件ではないことに注意しよう。[2] は特に重要な性質であって、C\mathscr{C}内部の一点だけチェックすれば、他の点がC\mathscr{C} ' の内部に行くか外部に行くかがわかる。

  1. Osborne (1999). Complex variables and their applications: p193, 196. ↩︎ ↩︎