複素解析における等角写像とは?
定義 1
関数がで解析的であり、すべてのに対してを満たす場合、とすると等角写像conformal mappingまたは等角変換conformal transformという。一方で、を満たす点が存在する場合、をの臨界点critical pointという。
説明
等角等角という漢字そのまま、等角変換を取ると形状が作る角が保持される。
その名の通り、等角写像同士の合成は等角写像であるという事実を覚えておこう。証明は、以下の対偶を確認することで十分だ。
このような等角変換は、単純閉路を多く扱う複素解析において非常に重要で、積分経路を扱うときに便利に使われる。幾何学的には、臨界点を考えると、つまり完全に停止するために方向を変えなければならない、つまり折れる点と言える。一方、解析的で単射である関数は、以下の二つの重要な性質を持つ。
基本性質 1
- [1]: もし関数がで解析的であり単射ならば、すべてのでが成り立つ。言い換えると、は等角写像である。
- [2]: もし関数がで解析的であり単射であり、単純閉路をに対応させる場合、は内部の点をの内部か外部のみに対応させる。
- [1]で必要十分条件ではないことに注意しよう。[2] は特に重要な性質であって、内部の一点だけチェックすれば、他の点がの内部に行くか外部に行くかがわかる。