📂抽象代数

抽象代数学における同型

定義 ¹

二つの二項演算構造 $\left< S , * \right>$ と $\left< S' , *' \right>$ に対し、全ての $x , y \in S$ について $$ \phi (x \ast\ y) = \phi ( x ) *' \phi ( y ) $$ を満たす全単射関数 $\phi : S \to S'$ が存在する場合、$\phi$ を同型写像と呼び、$S$ と $S'$ は同型^isomorphicであると言い、$S \simeq S'$ と書く。

説明

定義を要約すると、演算を保持する全単射が存在する場合、実質的に同じとみなすということです。抽象代数に限らず、同型^isomorphismとして知られるこの写像は、数学全般でとても重要です。

もし $\phi$ が演算を保持するが全単射ではない場合、これを準同型写像^homomorphismという。このように、同型写像ではないが多くの重要な写像が存在し、その研究も無数にあります。

次は、同型写像によって、恒等元の同一性も保持されるという意味の定理です。

定理

同型写像 $\phi$ により $S \simeq S'$ であり、$e$ が $S$ の恒等元であれば、$\phi (e)$ は $S'$ の恒等元です。

証明

$e$ が $S$ の恒等元であるため、$s \in S$ に対して $$ e \ast\ s = s \ast\ e = s $$

$$ \phi ( e \ast\ s ) = \phi ( s \ast\ e ) = \phi ( s ) $$ $\phi$ が同型写像であるため、$s' : = \phi (s) \in S'$ に対して $$ \phi ( e ) *' \phi ( s ) = \phi ( s ) *' \phi ( e ) = \phi ( s ) $$ したがって、$\phi (e)$ は $S'$ の恒等元です。

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参照

• グラフ理論における同型