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抽象代数学における同型 📂抽象代数

抽象代数学における同型

定義 1

二つの二項演算構造 <S,>\left< S , * \right><S,>\left< S' , *' \right> に対し、全ての x,ySx , y \in S について ϕ(x y)=ϕ(x)ϕ(y) \phi (x \ast\ y) = \phi ( x ) *' \phi ( y ) を満たす全単射関数 ϕ:SS\phi : S \to S' が存在する場合、ϕ\phi同型写像と呼び、SSSS'同型isomorphicであると言い、SSS \simeq S' と書く。

説明

定義を要約すると、演算を保持する全単射が存在する場合、実質的に同じとみなすということです。抽象代数に限らず、同型isomorphismとして知られるこの写像は、数学全般でとても重要です。

もし ϕ\phi が演算を保持するが全単射ではない場合、これを準同型写像homomorphismという。このように、同型写像ではないが多くの重要な写像が存在し、その研究も無数にあります。

次は、同型写像によって、恒等元の同一性も保持されるという意味の定理です。

定理

同型写像 ϕ\phi により SSS \simeq S' であり、eeSS の恒等元であれば、ϕ(e)\phi (e)SS' の恒等元です。

証明

eeSS の恒等元であるため、sSs \in S に対して e s=s e=s e \ast\ s = s \ast\ e = s

ϕ(e s)=ϕ(s e)=ϕ(s) \phi ( e \ast\ s ) = \phi ( s \ast\ e ) = \phi ( s ) ϕ\phi が同型写像であるため、s:=ϕ(s)Ss' : = \phi (s) \in S' に対して ϕ(e)ϕ(s)=ϕ(s)ϕ(e)=ϕ(s) \phi ( e ) *' \phi ( s ) = \phi ( s ) *' \phi ( e ) = \phi ( s ) したがって、ϕ(e)\phi (e)SS' の恒等元です。

参照


  1. Fraleigh. (2003). A first course in abstract algebra(7th Edition): p29. ↩︎