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奇関数と偶関数

定義

1. $f(-x) = f(x)$ を満たす関数 $f(x)$ を偶関数^evenという。
2. $f(-x) = -f(x)$ を満たす関数 $f(x)$ を奇関数^oddという。

説明

偶関数は座標平面で$y$ 軸に関して対称な関数、奇関数は原点$O$ に関して対称な関数だ。

例として三角関数の中で、奇関数の$\sin$ と偶関数の$\cos$ を挙げることができる。$\sin$ を微分すると$\cos$ が、$\cos$ を微分すると$\sin$ が得られる。必要ないように見えるかもしれないけど、関数を正確に知らなくても使える状況で便利だ。

導関数

$f$ が実数全体で微分可能なら、次が成り立つ。

• [1] 偶関数の導関数は奇関数だ。
• [2] 奇関数の導関数は偶関数だ。

導出

$f(x)$ を任意の奇関数、$g(x)$ を任意の偶関数とする。

$f(x)=-f(-x)$ であることから、 $$f ' (x)=f ' (-x)$$ $g(x)=g(-x)$ であることから、 $$g ' (x)=-g ' (-x)$$

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系

もう一つ覚えておくといいことが、偶関数 $g(x)$ の導関数 $g ' (x)$ は、常に $g ' (0)=0$ である。

証明

$$\begin{align*} & g ' (x)=-g ' (-x) \\ \implies& g ' (0)=-g ' (-0) \\ \implies& 2g ' (0)=0 \\ \implies& g ' (0)=0 \end{align*}$$

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