📂複素解析

複素解析を用いた平方数の逆数の和の計算

定理 ¹

$$\sum_{n =1 }^{\infty} {{1} \over {n^2}} = {{ \pi ^2 } \over { 6 }}$$

オイラーの解法は簡潔で素晴らしいのだが、アイディアがあまりにも奇抜で実際に役立つ場面は少ない。複素解析を学ぶ最も楽しい点は、このような結果をもたらすショートカットが即座に出てくることだ。例としても良いので、直接一度解いてみよう。

証明

$\displaystyle f(z) : = {{1} \over {z^2}}$ と定義すれば $\displaystyle \lim_{z \to \infty} z f(z) = 0$ である。

全ての整数に対する級数の和公式：有理函数 $f$ に対して $\lim_{n \to \infty} z f(z) = 0, n \in \mathbb{Z}$ で $f(n) \ne 0$ であるとしよう。$f$ が有限の特異点 $z_{1}, \cdots , z_{m}$ を持つとき、 $$\sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) = - \sum_{n = 1}^{m} \text{Res}_{z_{n}} (\pi f(z) \cot \pi z)$$

完全にそのまま適用することはできず、$n \ne 0$ についての例外処理が必要だ。

$F(z): = \pi f(z) \cot \pi z$ と定義すれば、$n \ne 0$ については $\text{Res}_{n} F(z) = f(n)$ である。

コタンジェントのローラン展開: $$\cot z = {{1} \over {z}} - {{z} \over {3}} - {{z^{3}} \over {45}} - {{2 z^{5}} \over {945}} - \cdots \\ \csc z = {{1} \over {z}} + {{z} \over {6}} + {{7 z^{3}} \over {360}} + {{31 z^{5}} \over {15120}} + \cdots$$

一方、$n=0$ の近傍では $$F(z) = {{\pi} \over {z^2}} \left( {{1} \over { \pi z}} - {{ \pi z} \over {3}} - {{ \pi^{3} z^{3}} \over {45}} - \cdots \right)$$ 従って $$\text{Res}_{0} F(z) = - {{\pi^2} \over {3}}$$ $F$ は $n \in \mathbb{Z}$ 以外には特異点を持たず、 $$\sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) = \sum_{n=-\infty}^{-1} f(n) - {{\pi^2} \over {3}} + \sum_{n=1}^{\infty} f(n) = 0$$ $f$ は偶函数なので $\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{-1} f(n) = \sum_{n=1}^{\infty} f(n)$ であり、整理すれば $$\sum_{n =1 }^{\infty} {{1} \over {n^2}} = {{ \pi ^2 } \over { 6 }}$$

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関連資料

• オイラーの解法