📂複素解析

複素解析を用いた平方数の逆数の和の計算

정리 ¹

$$ \sum_{n =1 }^{\infty} {{1} \over {n^2}} = {{ \pi ^2 } \over { 6 }} $$

오일러의 접근법이 깔끔하고 우아하긴 하지만 너무 기발해서 실제로 사용할 곳이 별로 없다. 복소해석을 공부하면서 이런 결과로 바로 가는 지름길이 있다는 것이 즐거움 중 하나다. 좋은 예제니까 한번 직접 풀어보라.

증명

$\displaystyle f(z) : = {{1} \over {z^2}}$ 이라고 정의하면 $\displaystyle \lim_{z \to \infty} z f(z) = 0$ 이다.

모든 정수에 대한 급수의 합의 공식: 유리함수 $f$에 대해 $\lim_{n \to \infty} z f(z) = 0, n \in \mathbb{Z}$에서 $f(n) \ne 0$라고 할 때, $f$가 유한한 특이점 $z_{1}, \cdots , z_{m}$를 가질 때, $$ \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) = - \sum_{n = 1}^{m} \text{Res}_{z_{n}} (\pi f(z) \cot \pi z) $$

완전히 바로 적용할 수는 없고, $n \ne 0$에 대한 예외 처리가 필요하다.

$F(z): = \pi f(z) \cot \pi z$라고 정의하면 $n \ne 0$에 대해서는 $\text{Res}_{n} F(z) = f(n)$이다.

코탄젠트의 로랑 전개: $$ \cot z = {{1} \over {z}} - {{z} \over {3}} - {{z^{3}} \over {45}} - {{2 z^{5}} \over {945}} - \cdots \\ \csc z = {{1} \over {z}} + {{z} \over {6}} + {{7 z^{3}} \over {360}} + {{31 z^{5}} \over {15120}} + \cdots $$

한편, $n=0$의 근방에서는 $$ F(z) = {{\pi} \over {z^2}} \left( {{1} \over { \pi z}} - {{ \pi z} \over {3}} - {{ \pi^{3} z^{3}} \over {45}} - \cdots \right) $$ 따라서 $$ \text{Res}_{0} F(z) = - {{\pi^2} \over {3}} $$ $F$는 $n \in \mathbb{Z}$외에 특이점을 갖지 않으므로 $$ \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) = \sum_{n=-\infty}^{-1} f(n) - {{\pi^2} \over {3}} + \sum_{n=1}^{\infty} f(n) = 0 $$ $f$는 우함수이므로 $\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{-1} f(n) = \sum_{n=1}^{\infty} f(n)$이고 정리하면 $$ \sum_{n =1 }^{\infty} {{1} \over {n^2}} = {{ \pi ^2 } \over { 6 }} $$

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같이 보기

• 오일러의 접근법