実数の集合と空集合は開いていると同時に閉じている。
定理
$\mathbb{R}$ と $\emptyset$ は開かれていると同時に閉じている。
説明
実数 $\mathbb{R}$ 上で、複数の区間の合併を開集合という。例えば、$(-1,0) \cup (2,3)$ は明らかに開集合で、$(0,1)$ や$\mathbb{R}$ も開集合だ。一方、閉じていることは、開いていることを通じて定義される。ある実数の部分集合 $C$ に対して、$R \setminus C$ が開いていれば、$C$ を閉集合という。提案された定理でもすでに話されているが、開いていると閉じていることは相互排他的ではない。したがって、「開いている」は「閉じていない」ではなく、「閉じている」も「開いていない」とは違う。実数集合と空集合にこの２つの状態が重なっていることはかなり面白い話だと言える。
証明
パート 1. $\mathbb{R}$ と $\emptyset$ は開集合
$\mathbb{R} = (- \infty , \infty)$ は $\displaystyle \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} (n-1,n+1) = ( - \infty , \infty)$ のように表せるから、開集合である。
$$ \displaystyle \bigcup_{\alpha \in \emptyset} A_{\alpha} = \emptyset $$
空集合は $0$ 個の区間を合併したもので、定義により開集合だとわかる。 [ 注目：トートロジーが納得いかない、または明確ではない場合、ある実数 $x \in \mathbb{R}$ に対して $(x,x) = \emptyset$ を考えてみるといい。 ]
パート 2. $\mathbb{R}$ と $\emptyset$ は閉集合
$\emptyset = \mathbb{R} \setminus \mathbb{R}$ が開いているため、$\mathbb{R}$ は閉じている。
$\mathbb{R} = \mathbb{R} \setminus \emptyset$ が開いているため、$\emptyset$ も閉じている。
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結論
$\mathbb{R^n}$ と $\emptyset$ は開かれていると同時に閉じている。
一方、この定理は全体空間が $\mathbb{R}^{n}$ で与えられた場合にも成り立つ。