実数の集合と空集合は開いていると同時に閉じている。
📂解析学実数の集合と空集合は開いていると同時に閉じている。
定理
R と ∅ は開かれていると同時に閉じている。
説明
実数 R 上で、複数の区間の合併を開集合という。例えば、(−1,0)∪(2,3) は明らかに開集合で、(0,1) やR も開集合だ。一方、閉じていることは、開いていることを通じて定義される。ある実数の部分集合 C に対して、R∖C が開いていれば、C を閉集合という。提案された定理でもすでに話されているが、開いていると閉じていることは相互排他的ではない。したがって、「開いている」は「閉じていない」ではなく、「閉じている」も「開いていない」とは違う。実数集合と空集合にこの2つの状態が重なっていることはかなり面白い話だと言える。
証明
パート 1. R と ∅ は開集合
R=(−∞,∞) は n∈Z⋃(n−1,n+1)=(−∞,∞) のように表せるから、開集合である。
トートロジー
α∈∅⋃Aα=∅
空集合は 0 個の区間を合併したもので、定義により開集合だとわかる。 [ 注目:トートロジーが納得いかない、または明確ではない場合、ある実数 x∈R に対して (x,x)=∅ を考えてみるといい。 ]
パート 2. R と ∅ は閉集合
∅=R∖R が開いているため、R は閉じている。
R=R∖∅ が開いているため、∅ も閉じている。
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結論
Rn と ∅ は開かれていると同時に閉じている。
一方、この定理は全体空間が Rn で与えられた場合にも成り立つ。