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実数の集合と空集合は開いていると同時に閉じている。 📂解析学

実数の集合と空集合は開いていると同時に閉じている。

定理

R\mathbb{R}\emptyset は開かれていると同時に閉じている。

説明

実数 R\mathbb{R} 上で、複数の区間の合併開集合という。例えば、(1,0)(2,3)(-1,0) \cup (2,3) は明らかに開集合で、(0,1)(0,1)R\mathbb{R} も開集合だ。一方、閉じていることは、開いていることを通じて定義される。ある実数の部分集合 CC に対して、RCR \setminus C が開いていれば、CC閉集合という。提案された定理でもすでに話されているが、開いていると閉じていることは相互排他的ではない。したがって、「開いている」は「閉じていない」ではなく、「閉じている」も「開いていない」とは違う。実数集合と空集合にこの2つの状態が重なっていることはかなり面白い話だと言える。

証明

  • パート 1. R\mathbb{R}\emptyset は開集合

    R=(,)\mathbb{R} = (- \infty , \infty)nZ(n1,n+1)=(,)\displaystyle \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} (n-1,n+1) = ( - \infty , \infty) のように表せるから、開集合である。

    トートロジー

    αAα= \displaystyle \bigcup_{\alpha \in \emptyset} A_{\alpha} = \emptyset

    空集合00 個の区間を合併したもので、定義により開集合だとわかる。 [ 注目:トートロジーが納得いかない、または明確ではない場合、ある実数 xRx \in \mathbb{R} に対して (x,x)=(x,x) = \emptyset を考えてみるといい。 ]

  • パート 2. R\mathbb{R}\emptyset は閉集合

    =RR\emptyset = \mathbb{R} \setminus \mathbb{R} が開いているため、R\mathbb{R} は閉じている。

R=R\mathbb{R} = \mathbb{R} \setminus \emptyset が開いているため、\emptyset も閉じている。

結論

Rn\mathbb{R^n}\emptyset は開かれていると同時に閉じている。


一方、この定理は全体空間が Rn\mathbb{R}^{n} で与えられた場合にも成り立つ。