角運動量の同時固有函数と階梯演算子の関係
まとめ
角運動量演算子 $L^{2}$と $L_{z}$の固有値を $\ell(\ell+1)\hbar^{2}$と $m\hbar$ としよう。それぞれの固有値に対応する規格化された同時固有関数を$\ket{\ell, m}$と言おう。
$$ \begin{align*} L^{2} \ket{\ell, m} &= \ell(\ell+1)\hbar^{2}\ket{\ell, m} \\ L_{z}\ket{\ell, m} &= m\hbar\ket{\ell, m} \end{align*} $$
角運動量のはしご演算子$L_{\pm}$と固有関数$\ket{\ell, m}$について、次のような関係式が成り立つ。
$$ \begin{align*} L_{+}\ket{\ell, m} &= \sqrt{(l-m)(l+m+1)}\hbar\ket{\ell, m+1} \\ L_{-}\ket{\ell, m} &= \sqrt{(l+m)(l-m+1)}\hbar\ket{\ell, m-1} \end{align*} $$
説明
はしご演算子$L_{\pm}$を$\ket{\ell, m}$に適用すると、$L_{z}$に関する固有値方程式で固有値が$\hbar$だけ増加（減少）する。
$$ L_{z} \ket{\ell, m} = m\hbar \ell\ket{\ell, m} \quad \implies L_{z}L_{+}\ket{\ell, m} = (m+1) \hbar \ket{\ell, m+1} $$
したがって、$L_{+}\ket{\ell, m}$も固有値$(m+1)\hbar$に対応する固有関数である。上の定理は、$(m++1)$に対応する固有関数の中から規格化された状態を$\ket{\ell, m+1}$と言うとき、$L_{+}\ket{\ell, m}$と$\ket{\ell, m+1}$の間の関係式について述べている。
証明
まず、$L_{z}$の固有値方程式から出発しよう。可能な$m$の値は$1$だけの差があるため、次のようになる。
$$ \begin{align*} L_{z}\ket{\ell, m} &= m\hbar \ket{\ell, m} \\ L_{z}\ket{\ell, m+1} &= (m+1) \hbar \ket{\ell, m+1} \end{align*} $$
また、$L_{+}$は$L_{z}$の固有値を$\hbar$だけ増加させるので、
$$ L_{z} L_{+} \ket{\ell, m} = (m+1) \hbar L_{+} \ket{\ell, m} $$
つまり、$\ket{\ell, m+1}$も固有値$(m + 1)\hbar$に対応する固有関数であり、$L_{+} \ket{\ell, m}$も固有値$(m + 1)\hbar$に対応する固有関数である。したがって、何かの定数$C_{+}$に対して次のようになる。
$$ L_{+}\ket{\ell, m}=C_{+}\ket{\ell, m+1} \tag{1} $$
同じ方法で、$L_{-}$に対して次の式を得る。
$$ L_{-}\ket{\ell, m} = C_{-}\ket{\ell, m-1} \tag{2} $$
このとき、$(1)$と$(2)$は固有値方程式ではないことに注意しよう。$C_{+}$の値を求めるために、$L_{+}\ket{\ell, m}$の自己内積を求めよう。
$$ \begin{align*} \bra{\psi}L_{+}^{\ast}L_{+}\ket{\psi} &= \bra{\ell, m+1}C_{+}^{\ast}C_{+}\ket{\ell, m+1} \\ &= \left| C_{+} \right|^{2} \braket{\ell, m+1 | \ell, m+1} \\ &= \left| C_{+} \right|^{2} \end{align*} $$
$$ L_{-}L_{+} = L^{2} - L_{z}^{2} - \hbar L_{z} $$
一方、上記の式の左辺をそのまま計算すると次のようになる。
$$ \begin{align*} \bra{\psi}L_{+}^{\ast}L_{+}\ket{\psi} &= \bra{\ell, m} (L_{+})^{\ast}L_{+} \ket{\ell, m} \\ &= \bra{\ell, m} L_{-}L_{+} \ket{\ell, m} \\ &= \bra{\ell, m} L^{2} -{L_{z}}^{2} - \hbar L_{z} \ket{\ell, m}\\ &= \left[ l(l+1)\hbar ^{2} -m^{2}\hbar^{2} -m\hbar^{2} \right]\braket{\ell, m | \ell, m} \\ &= \hbar^{2} (\ell^{2}+\ell-m^{2}-m) \\ &= \hbar^{2} [(\ell^{2}-m^{2})+(\ell-m)] \\ &= \hbar^{2} (\ell-m)(\ell+m+1) \end{align*} $$
したがって、次を得る。
$$ C_{+} = \hbar\sqrt{(\ell-m)(\ell+m+1)} $$
同じ方法で計算して、$C_{-}$を求めると次のようになる。
$$ C_{-} = \hbar\sqrt{(\ell+m)(\ell-m+1)} $$