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政府号行列 📂行列代数

政府号行列

定義1

正定値行列

二次形式xAx\mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x}

  • すべてのx0\mathbf{x} \ne \mathbf{0}に対してxAx>0\mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x} > 0を満たすならば、二次形式や行列AA正定positive definiteという。

  • すべてのx0\mathbf{x} \ne \mathbf{0}に対してxAx<0\mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x} < 0を満たすならば、二次形式や行列AA負定negative definiteという。

  • x\mathbf{x}に従って、正の数も負の数も成り立つ場合には、二次形式や行列AA不定indefiniteという。

実行列の場合は、定義のxAx\mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x}部分をxTAx\mathbf{x}^{T} A \mathbf{x}に置き換えて考えればよい。

準正定値行列

二次形式xAx\mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x}

  • すべてのx0\mathbf{x} \ne \mathbf{0}に対してxAx0\mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x} \ge 0を満たすならば、二次形式や行列AA正の準定positive semidefiniteという。

  • すべてのx0\mathbf{x} \ne \mathbf{0}に対してxAx0\mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x} \le 0を満たすならば、二次形式や行列AA負の準定negative semidefiniteという。

説明

これらの定義はクリアだが、省略されたものが多く、頭で追うのが難しい。式と説明をじっくり見ながら、概念自体を理解しよう。二次形式の定数が複素数の場合、すなわちAAエルミート行列である場合を考えてみよう。Ax=λxA \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}を見ると、λ\lambdaAA固有値になる。左辺に共役転置x\mathbf{x}^{\ast}をかけると次のようになる。

xAx=λxx=λxx=λx2 \mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}^{\ast} \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x} \cdot \mathbf{x} = \lambda | \mathbf{x} |^{2}

ここでx0\mathbf{x} \ne \mathbf{0}であるため、x2>0|\mathbf{x}| ^2 > 0であり、エルミート行列の固有値は実数なので、λx2\lambda |\mathbf{x}| ^2も実数だ。したがって、xAx\mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x}は実数であり、正か負かを確認できるということだ。行列とベクトルの乗算で表記すると理解しにくかったものが、λx2\lambda |\mathbf{x}| ^2として表すとずっと分かりやすくなる。

λx2\lambda |\mathbf{x}|^{2}の符号を考えると、常にx2>0|\mathbf{x}|^{2} >0なので、λ\lambdaの符号だけを考えればよい。結局、ゼロベクターでない任意のベクターに対してxAx>0\mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x} > 0という言葉はAAのすべての固有値が正であるという意味になる。反対に考えれば、負定値行列はすべての固有値が負である行列であるという意味だ。こうして、定義性はもともと正負の概念がない行列に正負(positive/negative)といった概念を定義(definite)することと考えることができるだろう。これを含むのが定理1である。

さらに、可逆行列であるための同値条件により、正定値行列と負定値行列は00の固有値を持たないため、可逆行列である。(定理2)

応用

  • 数値線形代数学では、特に正定値に多くの関心が持たれる。条件として正定値を考えると、エルミート行列が基本でありながら、すべての固有値が正であるという、非常に強い条件だとわかる。
  • 動力学では、負定値行列の性質を利用して、システムの平衡点の安定性を研究することもある。
  • 統計学では、基本的に共分散行列が正の半定行列であるため、非常に重要だ。

定理1

  • AAが正定であるための必要十分条件はAAのすべての固有値が正であることである。

  • AAが負定であるための必要十分条件はAAのすべての固有値が負であることである。

  • AAが不定であるための必要十分条件はAAが少なくとも1つの負の固有値と少なくとも1つの正の固有値を持つことである。

定理2

正の定値行列と負の定値行列は常に可逆行列である。

定理3

対称行列AAについて、

  • AAが正定値であれば、xTAx=1\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}=1は楕円の方程式である。

  • AAが負定値であれば、xTAx=1\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}=1はグラフを持たない。

  • AAが不定であれば、xTAx=1\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}=1は双曲線の方程式である。


  1. Howard Anton, Chris Rorres, Anton Kaul, 「Elementary Linear Algebra: Applications Version」(第12版). 2019年, p423 ↩︎