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場の理論における交換子とは? 📂抽象代数

場の理論における交換子とは?

定義

(R,+,)(R, +, \cdot)において、二つの元a,bRa, b \in R交換子commutatorを次のように定義する。

[a,b]:=abba=abba [a, b] := a \cdot b - b \cdot a = ab - ba

[a,b]=0[a, b] = 0ならば、a,ba, b交換可能commuteであるという。a,ba, b反交換子anticommutatorを次のように定義する。

{a,b}=ab+ba \left\{a, b\right\} = ab + ba

説明

群論における交換子と似ているが、環では加算++については既に交換法則が成立しているので、乗算\cdotについて交換可能かを示す。

量子力学における交換子微分幾何におけるベクトル場のリー括弧と同じである。

(2)(2)反交換性anticommutativityという。(6)(6)ヤコビ恒等式という。

性質

[a,a]=0[a,b]=[b,a][a+b,c]=[a,c]+[b,c][ab,c]=a[b,c]+[a,c]b[a,bc]=b[a,c]+[a,b]c[a,[b,c]]+[c,[a,b]]+[b,[c,a]]=0 \begin{align} [a, a] &= 0 \\[1em] [a, b] &= -[b, a] \\[1em] [a+b, c] &= [a, c] + [b, c] \\[1em] [ab, c] &= a[b, c]+[a, c]b \\[1em] [a,bc] &= b[a,c]+ [a,b]c \\[1em] [a, [b, c]] + [c, [a,b]] + [b, [c,a]] &= 0 \end{align}

証明

(1)

[a,a]=aa=0 [a, a]=a-a=0

(2)

[a,b]=abba=(baab)=[b,a] [a,b] = ab-ba = -(ba-ab) = -[b,a]

(3)

[a+b,c]= (a+b)cc(a+b)= ac+bccacb= (acca)+(bccb)= [a,c]+[b,c] \begin{align*} [a+b,c] =&\ (a+b)c-c(a+b) \\ =&\ ac+bc-ca-cb \\ =&\ (ac-ca) + (bc-cb) \\ =&\ [a,c]+[b,c] \end{align*}

(4)

[ab,c]= (ab)cc(ab)= abccab= (abccab)+(acbacb)= (abcacb)+(acbcab)= a(bccb)+(acca)b= a[b,c]+[a,c]b \begin{align*} [ab,c] =&\ (ab)c-c(ab) \\ =&\ abc-cab \\ =&\ (abc {\color{blue}-cab})+(acb {\color{red}-acb}) \\ =&\ (abc {\color{red}-acb}) + (acb {\color{blue}-cab}) \\ =&\ a(bc-cb) +(ac-ca)b \\ =&\ a[b,c] + [a,c]b \end{align*}

(5)

[a,bc]= a(bc)(bc)a= abcbca= (abcbca)+(bacbac)= (bacbca)+(abcbac)= b[a,c]+[a,b]c \begin{align*} [a,bc] =&\ a(bc)-(bc)a \\ =&\ abc-bca \\ =&\ ({\color{blue}abc} -bca)+({\color{red}bac} -bac) \\ =&\ ( {\color{red}bac}-bca )+({\color{blue}abc}-bac) \\ =&\ b[a,c] + [a,b]c \end{align*}