📂行列代数

類似行列は同じ固有値を持つ

定理

二つの行列$A,B$が相似である場合、同じ固有値を持つ。

$$ \det (A - \lambda I) = \det (B - \lambda I) $$

この場合、$\lambda$は$A, B$の固有値である。

説明

固有値が同じということは、特性方程式が同じということと同じだ。

証明

固有値が同じであることを示すためには、特性方程式が同じであることを示せば十分である。

$$ \begin{align*} \det (A - \lambda I ) =& \det ( P^{-1} (B - \lambda I ) P ) \\ =& \det P^{-1} \det (B - \lambda I) \det P \\ =& \det P^{-1} \det P \det (B - \lambda I) \\ =& \det I \det (B - \lambda I) \\ =& \det (B - \lambda I) \end{align*} $$

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