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類似行列は同じ固有値を持つ 📂行列代数

類似行列は同じ固有値を持つ

定理

二つの行列A,BA,Bが相似である場合、同じ固有値を持つ。

det⁡(A−λI)=det⁡(B−λI) \det (A - \lambda I) = \det (B - \lambda I)

この場合、λ\lambdaはA,BA, Bの固有値である。

説明

固有値が同じということは、特性方程式が同じということと同じだ。

証明

固有値が同じであることを示すためには、特性方程式が同じであることを示せば十分である。

det⁡(A−λI)=det⁡(P−1(B−λI)P)=det⁡P−1det⁡(B−λI)det⁡P=det⁡P−1det⁡Pdet⁡(B−λI)=det⁡Idet⁡(B−λI)=det⁡(B−λI) \begin{align*} \det (A - \lambda I ) =& \det ( P^{-1} (B - \lambda I ) P ) \\ =& \det P^{-1} \det (B - \lambda I) \det P \\ =& \det P^{-1} \det P \det (B - \lambda I) \\ =& \det I \det (B - \lambda I) \\ =& \det (B - \lambda I) \end{align*}

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