📂幾何学

微分多様体上の曲線に沿うベクトル場

定義¹

• $M$を微分多様体とする。微分可能な関数 $c : I\subset \mathbb{R} \to M$を**（パラメータ化された）曲線**^{(parameterized curve)}という。

• 次を満たす微分可能な$V$を曲線 $c : I \to M$に沿ったベクトル場^{vector field along c}という。ここで、微分可能であるとは、$M$上の微分可能な関数 $f$に対して、関数 $t \mapsto V(t)f$が$I$上で微分可能であることを意味する。

  $$ V : I \to T_{c(t)}M \quad \text{ by } \quad t \mapsto V(t) $$

説明

曲線の定義から、微分可能である以外に制約はないので、交点や角も許される。

ベクトル場 $dc(\frac{d}{dt})$を単純に、$\dfrac{dc}{dt}$と表示し、これを速度場または接ベクトル場という。

$c$の閉区間から$[a, b] \subset I$への縮小写像を線分^segmentという。もし$M$がリーマン多様体であれば、メトリック$g$で長さを測ることができ、線分の長さは次のように定義される。

$$ \ell_{a}^{b}(c) = \int_{a}^{b} g\left( \dfrac{dc}{dt}, \dfrac{dc}{dt} \right)^{1/2}dt = \int_{a}^{b} \left\langle \dfrac{dc}{dt}, \dfrac{dc}{dt} \right\rangle^{1/2}dt $$