微分多様体上の曲線に沿うベクトル場
📂幾何学微分多様体上の曲線に沿うベクトル場
定義
Mを微分多様体とする。微分可能な関数 c:I⊂R→Mを**(パラメータ化された)曲線**(parameterized curve)という。
次を満たす微分可能なVを曲線 c:I→Mに沿ったベクトル場vector field along cという。ここで、微分可能であるとは、M上の微分可能な関数 fに対して、関数 t↦V(t)fがI上で微分可能であることを意味する。
V:I→Tc(t)M by t↦V(t)
説明

曲線の定義から、微分可能である以外に制約はないので、交点や角も許される。
ベクトル場 dc(dtd)を単純に、dtdcと表示し、これを速度場または接ベクトル場という。
cの閉区間から[a,b]⊂Iへの縮小写像を線分segmentという。もしMがリーマン多様体であれば、メトリックgで長さを測ることができ、線分の長さは次のように定義される。
ℓab(c)=∫abg(dtdc,dtdc)1/2dt=∫ab⟨dtdc,dtdc⟩1/2dt