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微分多様体上の曲線に沿うベクトル場 📂幾何学

微分多様体上の曲線に沿うベクトル場

定義1

  • MM微分多様体とする。微分可能な関数 c:IRMc : I\subset \mathbb{R} \to Mを**(パラメータ化された)曲線**(parameterized curve)という。

  • 次を満たす微分可能なVV曲線 c:IMc : I \to Mに沿ったベクトル場vector field along cという。ここで、微分可能であるとは、MM上の微分可能な関数 ffに対して、関数 tV(t)ft \mapsto V(t)fII上で微分可能であることを意味する。

    V:ITc(t)M by tV(t) V : I \to T_{c(t)}M \quad \text{ by } \quad t \mapsto V(t)

説明

スライド19.PNG

曲線の定義から、微分可能である以外に制約はないので、交点や角も許される。

ベクトル場 dc(ddt)dc(\frac{d}{dt})を単純に、dcdt\dfrac{dc}{dt}と表示し、これを速度場または接ベクトル場という。

ccの閉区間から[a,b]I[a, b] \subset Iへの縮小写像線分segmentという。もしMMリーマン多様体であれば、メトリックggで長さを測ることができ、線分の長さは次のように定義される。

ab(c)=abg(dcdt,dcdt)1/2dt=abdcdt,dcdt1/2dt \ell_{a}^{b}(c) = \int_{a}^{b} g\left( \dfrac{dc}{dt}, \dfrac{dc}{dt} \right)^{1/2}dt = \int_{a}^{b} \left\langle \dfrac{dc}{dt}, \dfrac{dc}{dt} \right\rangle^{1/2}dt


  1. Manfredo P. Do Carmo, Riemannian Geometry (Eng Edition, 1992), p42-43 ↩︎