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ノーマルセクションの定義とメネラウスの定理 📂幾何学

ノーマルセクションの定義とメネラウスの定理

定義1

曲面MM上の曲線γ\boldsymbol{\gamma}が与えられたとしよう。pMp \in Mでの法線n(p)\mathbf{n}(p)γ(p)TpM\boldsymbol{\gamma}^{\prime}(p) \in T_{p}Mが生成する平面をΠ\Piと記す。MΠM \cap \Pippからγ\boldsymbol{\gamma}^{\prime}方向へのMM法線セクションnormal sectionとする。

1.PNG

定理2

ppでの法曲率κn\kappa_{n}である曲面MM上の単位速度曲線γ(s)\boldsymbol{\gamma}(s)としよう。そして、γ~\tilde{\boldsymbol{\gamma}}を法線セクションとする。すると、平面曲線γ~\tilde{\boldsymbol{\gamma}}曲率κ~\tilde{\kappa}は、次の式を満たす。

κn=κ~ | \kappa_{n} |= \tilde{\kappa}

説明

これをミュスニエの定理という。ミュスニエはフランス人で、パパゴでは[무스니어]、Googleでは[뫼니에]くらいに発音されるみたいだ。

法線セクションは、法面、垂直面とも訳されることもあるが、実際には曲面上の曲線を表しているため、適当な単純化とは言えない。韓国数学会では垂直切断線という訳も見られるが、やはり法線セクションと呼ぶのが最も良いと思われる。

法線セクションγ~\tilde{\boldsymbol{\gamma}}は、MMから見れば空間曲線だが、Π\Piの上の平面曲線でもある。

証明

補助定理

α,β\alpha, \betaα(0)=β(0)\alpha (0) = \beta (0)が成立する正規曲線としよう。λ0\lambda \ne 0に対して、二つの曲線の速度ベクトルがα(0)=λβ(0)\alpha^{\prime}(0) = \lambda \beta ^{\prime}(0)を満たす場合、t=0t=0のとき、二つの曲線の法曲率κn\kappa_{n}は同じである。

補助定理により、二つの曲線γ,γ~\boldsymbol{\gamma}, \tilde{\boldsymbol{\gamma}}の法曲率は共にκn\kappa_{n}である。この時、γ~\tilde{\boldsymbol{\gamma}}の点ppでの法線は±n\pm \mathbf{n}である。

また、平面曲率の性質によれば、γ~\tilde{\boldsymbol{\gamma}}の平面曲率k~\tilde{k}は以下のようだ。

k~=κ~ | \tilde{k} | = \tilde{\kappa}

すると、平面曲率と法曲率の定義により、

k~=±γ~,n=±κn \tilde{k} =\pm \left\langle \tilde{\boldsymbol{\gamma}}^{\prime \prime}, \mathbf{n} \right\rangle = \pm \kappa_{n}

したがって、

κn=k~=κ~ \left| \kappa_{n} \right| = | \tilde{k} | = \tilde{\kappa}


  1. Manfredo P. Do Carmo Differential Geometry of Curves & Surfaces (Revised & Updated 2nd Edition, 2016), p144-145 ↩︎

  2. Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977), p123-124 ↩︎