ノーマルセクションの定義とメネラウスの定理
📂幾何学ノーマルセクションの定義とメネラウスの定理
定義
曲面M上の曲線γが与えられたとしよう。p∈Mでの法線n(p)とγ′(p)∈TpMが生成する平面をΠと記す。M∩Πをpからγ′方向へのMの法線セクションnormal sectionとする。

定理
点pでの法曲率がκnである曲面M上の単位速度曲線をγ(s)としよう。そして、γ~を法線セクションとする。すると、平面曲線γ~の曲率κ~は、次の式を満たす。
∣κn∣=κ~
説明
これをミュスニエの定理という。ミュスニエはフランス人で、パパゴでは[무스니어]、Googleでは[뫼니에]くらいに発音されるみたいだ。
法線セクションは、法面、垂直面とも訳されることもあるが、実際には曲面上の曲線を表しているため、適当な単純化とは言えない。韓国数学会では垂直切断線という訳も見られるが、やはり法線セクションと呼ぶのが最も良いと思われる。
法線セクションγ~は、Mから見れば空間曲線だが、Πの上の平面曲線でもある。
証明
補助定理
α,βをα(0)=β(0)が成立する正規曲線としよう。λ=0に対して、二つの曲線の速度ベクトルがα′(0)=λβ′(0)を満たす場合、t=0のとき、二つの曲線の法曲率κnは同じである。
補助定理により、二つの曲線γ,γ~の法曲率は共にκnである。この時、γ~の点pでの法線は±nである。
また、平面曲率の性質によれば、γ~の平面曲率k~は以下のようだ。
∣k~∣=κ~
すると、平面曲率と法曲率の定義により、
k~=±⟨γ~′′,n⟩=±κn
したがって、
∣κn∣=∣k~∣=κ~
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