📂行列代数

회전변환

2次元

2次元平面 $\mathbb{R}^{2}$でベクトルを反時計方向に $\theta$だけ回転させる変換は次の通りだ。

$$ \begin{pmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

誘導

$x = r \cos \phi$、$y = r \sin \phi$とする。$(x^{\prime}, y^{\prime})$を点 $(x, y)$を $\theta$だけ回転させたときの点とする。三角関数の加法定理により $x^{\prime}, y^{\prime}$はそれぞれ次の通りだ。

$$ \begin{align*} x^{\prime} &= r \cos(\phi + \theta) \\ &= r\cos\phi \cos\theta - r\sin\phi \sin\theta \\ &= x \cos\theta - y \sin\theta \\ \end{align*} $$

$$ \begin{align*} y^{\prime} &= r \sin(\phi + \theta) \\ &= r\sin\phi \cos\theta + r\cos\phi \sin\theta \\ &= y \cos\theta + x \sin\theta \\ &= x \sin\theta + y \cos\theta \end{align*} $$

行列で表すと次の通りだ。

$$ \begin{pmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

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