📂線形代数

線形変換のノルム

定義¹

線形変換 $T \in L(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{m})$のノルムを次のように定義する。

$$ \begin{equation} \| T \| := \sup \limits_{\| \mathbf{x} \| = 1} \| T(\mathbf{x}) \| \end{equation} $$

説明

(a) を見ると次の式が成り立つので、 $\| T \|$は $T$が $\mathbb{R}^{n}$の元を $\mathbb{R}^{m}$に写すときの大きさの変化率であるとわかる。つまり、どれだけ大きさが変わっても最大で $\| T \|$程度、という意味である。

$$ \dfrac{|T(\mathbf{x})|}{\| \mathbf{x} \|} \le \| T \| $$

また定義により、 $\| T \|$は次を満たす $\lambda$のうち最小の値であるとわかる。

$$ \| T (\mathbf{x}) \| \le \lambda \| \mathbf{x} \| , \quad \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} $$

$\| T \|$がノルムの定義を満たすことは容易に確認できる。

• $\| T \| \ge 0$
• $\| T \| = 0 \iff T = 0$
• $\| c T \| = | c | \| T \|$
• $\| T_{1} + T_{2} \| \le \| T_{1} \| + \| T_{2} \|$

すると $L(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{m})$に距離を次のように与えられるので、 $L(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{m})$は距離空間になる。

$$ d(T_{1}, T_{2}) = \| T_{1} - T_{2} \|,\quad T_{1},T_{2} \in L(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{m}) $$

定義 $(1)$と定理 (a) は必要十分条件である。

$$ \| T \| := \sup \limits_{\| \mathbf{x} \| = 1} \| T(\mathbf{x}) \| \implies \| T(\mathbf{x}) \| \le \| T \| \| \mathbf{x} \|,\quad \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} $$

$$ \| T \| := \min \left\{ K : \| T(\mathbf{x}) \| \le K \| \mathbf{x} \|,\quad \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} \right\} \implies \| T \| = \sup \limits_{\| \mathbf{x} \| = 1} \| T(\mathbf{x}) \| $$

定理

• (a) $T \in L(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{m})$なら次が成り立つ。 $$ \| T(\mathbf{x}) \| \le \| T \| \| \mathbf{x} \|,\quad \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} $$

• (b) $T \in L(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{m})$なら、 $\| T \| < \infty$であり $T$は一様連続である。

• (c) $T_{1} \in L(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{m})$で、 $T_{2} \in L(\mathbb{R}^{m}, \mathbb{R}^{k})$なら次が成り立つ。 $$ \|T_{2}\circ T_{1} \| \le \| T_{2} \| \| T_{1} \| $$

証明

(a)

$\mathbf{x} \ne \mathbf{0}$とする。すると $T$は線形変換だから次が成り立つ。

$$ \begin{align*} \dfrac{ \| T(\mathbf{x}) \|}{\| \mathbf{x} \|} &= \dfrac{1}{\| \mathbf{x} \|}|T(\mathbf{x})| \\ &= \left\| \dfrac{1}{\| \mathbf{x} \|} T(\mathbf{x}) \right\| \\ &= \left\| T\left( \dfrac{\mathbf{x}}{\| \mathbf{x} \|} \right) \right\| \end{align*} $$

それゆえ $\left\| \dfrac{\mathbf{x}}{\| \mathbf{x} \|} \right\| = 1$であるから $\| T \|$の定義により次が成り立つ。

$$ \begin{align*} && \dfrac{ \| T(\mathbf{x}) \|}{\| \mathbf{x} \|} &\le \| T \| \\ \implies && \| T(\mathbf{x}) \| &\le \| T \| \| \mathbf{x} \|,\quad \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} \end{align*} $$

■

(b)

$\left\{ \mathbf{e}_{1}, \dots, \mathbf{e}_{n} \right\}$を $\mathbb{R}^{n}$の標準基底とする。すると $\| \mathbf{x} \| \le 1$である $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}$に対して次が成り立つ。

$$ \mathbf{x} = \sum c_{i}\mathbf{e}_{i} \quad \text{and} \quad | c_{i} | \le 1 $$

すると $T$は線形変換だから次が成り立つ。

$$ \| T (\mathbf{x}) \| = \left\| T \left( \sum _{i=1}^{n} c_{i} \mathbf{e}_{i} \right) \right\| = \left\| \sum _{i=1}^{n} c_{i} T \left(\mathbf{e}_{i} \right) \right\| \le \sum _{i=1}^{n} | c_{i} | \| T (\mathbf{e}_{i}) \| \le \sum _{i=1}^{n} \| T (\mathbf{e}_{i}) \| $$

ゆえに次を得る。

$$ \| T \| \le \sum _{i=1}^{n} \| T (\mathbf{e}_{i}) \| < \infty $$

(a) により、 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^{n}$に対して次が成り立つ。

$$ |T(\mathbf{x}) - T(\mathbf{y})| \le \| T \| \| \mathbf{x} - \mathbf{y} \| $$

$\varepsilon > 0$が与えられたとする。 $\delta = \dfrac{\varepsilon}{\| T \|}$とする。すると次が成り立つので $T$は一様連続である。

$$ \| \mathbf{x} - \mathbf{y} \| < \delta \implies |T(\mathbf{x}) - T(\mathbf{y})| \le \| T \| \| \mathbf{x} - \mathbf{y} \| = \| T \| \dfrac{\varepsilon}{\| T \|} = \varepsilon $$

(c)

(a) により次が成り立つ。

$$ \| (T_{2}\circ T_{1}) (\mathbf{x}) \| = \| T_{2} (T_{1} (\mathbf{x})) \| \le \| T_{2} \| |T_{1} (\mathbf{x}) | \le \| T_{2} \| \|T_{1}\| \| \mathbf{x} \| $$

したがって、 $\| T_{2} \circ T_{1} \|$の定義により次を得る。

$$ \| T_{2} \circ T_{1} \| \le \| T_{2} \| \|T_{1}\| $$