📂線形代数

線形変換のノルム

定義¹

線形変換$T \in L(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{m})$のノルムを以下のように定義する。

$$ \begin{equation} \| T \| := \sup \limits_{| \mathbf{x} | = 1} | T ( \mathbf{x} ) | \end{equation} $$

説明

**(a)**を見ると、次の式が成り立つので、$\| T \|$は$T$が$\mathbb{R}^{n}$の要素を$\mathbb{R}^{m}$にマッピングする時の大きさが変わる割合であることがわかる。つまり、大きさがどれだけ変わっても$\| T \|$程度という意味だ。

$$ \dfrac{|T(\mathbf{x})|}{|\mathbf{x}|} \le \| T \| $$

また、定義により、$\| T \|$は次を満たす$\lambda$の中で最小の値であることがわかる。

$$ | T (\mathbf{x}) | \le \lambda | \mathbf{x} | , \quad \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} $$

$\| T \|$がノルムの定義を満たすことは簡単に確認できる。

• $\| T \| \ge 0$
• $\| T \| = 0 \iff T = 0$
• $\| c T \| = | c | \| T \|$
• $\| T_{1} + T_{2} \| \le \| T_{1} \| + \| T_{2} \|$

なので$L(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{m})$の距離を以下のように与えられるので、$L(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{m})$は距離空間になる。

$$ d(T_{1}, T_{2}) = \| T_{1} - T_{2} \|,\quad T_{1},T_{2} \in L(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{m}) $$

定義 $(1)$と定理 (a) は必要十分条件だ。

$$ \| T \| := \sup \limits_{| \mathbf{x} | = 1} | T ( \mathbf{x} ) | \implies | T(\mathbf{x}) | \le \| T \| | \mathbf{x} |,\quad \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} $$

$$ \| T \| := \min \left\{ K : | T(\mathbf{x}) | \le K | \mathbf{x} |,\quad \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} \right\} \implies \| T \| = \sup \limits_{| \mathbf{x} | = 1} | T ( \mathbf{x} ) | $$

定理

• (a) $T \in L(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{m})$なら、次が成り立つ。 $$ | T(\mathbf{x}) | \le \| T \| | \mathbf{x} |,\quad \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} $$

• (b) $T \in L(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{m})$で、$\| T \| < \infty$であり、$T$は一様連続だ。

• (c) $T_{1} \in L(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{m})$で、$T_{2} \in L(\mathbb{R}^{m}, \mathbb{R}^{k})$なら、次が成り立つ。 $$ \|T_{2}\circ T_{1} \| \le \| T_{2} \| \| T_{1} \| $$

証明

(a)

$\mathbf{x} \ne \mathbf{0}$とする。すると、$T$が線形変換であるので、次が成り立つ。

$$ \begin{align*} \dfrac{ | T(\mathbf{x}) |}{|\mathbf{x}|} &= \dfrac{1}{|\mathbf{x}|}|T(\mathbf{x})| \\ &= \left| \dfrac{1}{|\mathbf{x}|} T(\mathbf{x}) \right| \\ &= \left| T\left( \dfrac{\mathbf{x}}{|\mathbf{x}|} \right) \right| \end{align*} $$

すると、$\left| \dfrac{\mathbf{x}}{|\mathbf{x}|} \right| = 1$なので、$\| T \|$の定義により、次が成り立つ。

$$ \begin{align*} && \dfrac{ | T(\mathbf{x}) |}{|\mathbf{x}|} &\le \| T \| \\ \implies && | T(\mathbf{x}) | &\le \| T \| |\mathbf{x}|,\quad \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} \end{align*} $$

■

(b)

$\left\{ \mathbf{e}_{1}, \dots, \mathbf{e}_{n} \right\}$を$\mathbb{R}^{n}$の標準基底とする。すると、$| \mathbf{x} | \le 1$である$\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}$について、次が成り立つ。

$$ \mathbf{x} = \sum c_{i}\mathbf{e}_{i} \quad \text{and} \quad |c_{i}| \le 1 $$

すると、$T$が線形変換であるので、次が成り立つ。

$$ | T (\mathbf{x}) | = \left| T \left( \sum _{i=1}^{n} c_{i} \mathbf{e}_{i} \right) \right| = \left| \sum _{i=1}^{n} c_{i} T \left(\mathbf{e}_{i} \right) \right| \le \sum _{i=1}^{n} | c_{i} | | T (\mathbf{e}_{i}) | \le \sum _{i=1}^{n} | T (\mathbf{e}_{i}) | $$

よって、次を得る。

$$ \| T \| \le \sum _{i=1}^{n} | T (\mathbf{e}_{i}) | < \infty $$

**(a)**によって、$\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^{n}$について、次が成り立つ。

$$ |T(\mathbf{x}) - T(\mathbf{y})| \le \| T \| | \mathbf{x} - \mathbf{y} | $$

$\varepsilon > 0$としよう。$\delta = \dfrac{\varepsilon}{\| T \|}$とする。すると、次が成り立つので、$T$は一様連続である。

$$ | \mathbf{x} - \mathbf{y} | < \delta \implies |T(\mathbf{x}) - T(\mathbf{y})| \le \| T \| | \mathbf{x} - \mathbf{y} | = \| T \| \dfrac{\varepsilon}{\| T \|} = \varepsilon $$

(c)

**(a)**によって、次が成り立つ。

$$ | (T_{2}\circ T_{1}) (\mathbf{x}) | = | T_{2} (T_{1} (\mathbf{x})) | \le \| T_{2} \| |T_{1} (\mathbf{x}) | \le \| T_{2} \| \|T_{1}\| | \mathbf{x} | $$

よって、次を得る。

$$ \| T_{2} \circ T_{1} \| \le \| T_{2} \| \|T_{1}\| $$