📂行列代数

連立一次方程式

定義¹

定数$a_{1}$、$a_{2}$、$\dots$、$a_{n}$、$b$に対して、変数$x_{1}$、$x_{2}$、$\dots$、$x_{n}$の一次方程式^{linear equation}を次のように定義する。

$$\begin{equation} a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + \cdots + a_{n}x_{n} = b \label{lineq} \end{equation}$$

このとき、少なくとも一つの$a$は$0$ではない。つまり「全ての$a$が$0$」ではない。一次方程式の有限集合を連立一次方程式^{system of linear equations}または単に線形系^{linear system}と呼び、変数を未知数^unknownsと呼ぶ。韓国語で線形と一次は同じ意味である。一般に$n$個の変数$x_{1}$、$x_{2}$、$\dots$、$x_{n}$に対する$m$個の一次方程式で構成される線形系は次のように表される。

$$\begin{equation} \begin{aligned} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1n}x_{n} &= b_{1} \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} &= b_{2} \\ &\vdots \\ a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \cdots + a_{mn}x_{n} &= b_{m} \end{aligned} \label{linsys} \end{equation}$$

これを行列で表すと、次のようになる。

$$\begin{align*} \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \end{bmatrix} \\ A\mathbf{x} &= \mathbf{b} \end{align*}$$

説明

線形系を真にする$x_{1}$、$x_{2}$、$\dots$、$x_{n}$の値を解^solutionと呼ぶ。線形系が与えられると、以下の三つのうちの一つを満たさなければならない。それ以外の場合は存在しない。証明は記事の下部で紹介する。

• 解が一意に存在する。
• 解が無数に存在する。
• 解が存在しない。

少なくとも一つ以上の解が存在する場合、線形系は一致する^consistentと言われる。解が存在しない場合、線形系は不一致^inconsistentと言われる。

具体的に変数が2つの場合、一次方程式は直線の方程式を意味する。変数が2つの線形系で解が一意に存在する場合、直線が一点で交わる場合を意味する。解が無数に存在する場合、直線が無数の点で交わる場合、つまり重なっている場合を意味する。解が存在しない場合、直線が交わる点が存在しない場合を意味する。

変数が3つの一次方程式は平面の方程式を意味するので、線形系の解によって、平面がどのように重なっているかを意味することになる。

例

次の線形系を解いてみよう。

$$\begin{align*} 4x -2y &= 1 \\ 16x -8y &= 4 \end{align*}$$

上の式に$-4$を掛けて下の式に加えると、次のようになる。

$$\begin{align*} 4x -2y &= 1 \\ 0 &= 0 \end{align*}$$

すると、下の式は何の情報も表さないので、上の式だけで表そう。

$$4x -2y = 1$$

この場合、幾何学的に二つの直線が一致することを意味する。このような場合、$x$を$y$に対して整理して$x = \dfrac{1}{2}y + \dfrac{1}{4}$と表記した後、$y$に任意の数$t$を代入して解を表す。

$$x = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2}t, \quad y = t$$

このような$t$をパラメーター^parameterと呼び、上の方程式をパラメーター方程式^{parametric equations}と呼ぶ。

証明²

連立一次方程式は、解が存在しないか、一つだけか、無数に存在するかのどれかである。他の場合は存在しない。

異なる二つの解があるとき、無数に多くの解が存在することを示せば、証明が完了する。$\mathbf{x}_{1}$、$\mathbf{x}_{2}$を連立一次方程式$A\mathbf{x} =\mathbf{b}$の異なる二つの解としよう。そして、$\mathbf{x}_{0} = \mathbf{x}_{1} - \mathbf{x}_{2}$とする。$\mathbf{x}_{1}$と$\mathbf{x}_{2}$が異なる二つの解であるので、$\mathbf{x}_{0} \ne \mathbf{0}$である。さらに、以下の式が成り立つ。

$$A \mathbf{x}_{0} = A (\mathbf{x}_{1} - \mathbf{x}_{2}) = \mathbf{b} - \mathbf{b} = \mathbf{0}$$

このとき、$k$を任意の定数としよう。すると、上記の結果により、以下の式も成り立つ。

$$\begin{align*} A (\mathbf{x}_{1} + k\mathbf{x}_{0}) &= A\mathbf{x}_{1} + A(k\mathbf{x}_{0}) \\ &= A\mathbf{x}_{1} + kA\mathbf{x}_{0} \\ &= \mathbf{b} + \mathbf{0} \\ &= \mathbf{b} \end{align*}$$

したがって、$\mathbf{x}_{1} + k\mathbf{x}_{0}$も連立一次方程式$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$の解である。これは任意の定数$k$に対して成り立つので、解が無数に存在する。

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