logo

ベクトル空間の部分空間 📂線形代数

ベクトル空間の部分空間

定義1

WWベクトル空間VVの空集合でない部分集合とする。WWVVで定義された加算とスカラー乗算に対してベクトル空間の定義を満たす時、WWをベクトル空間VV部分空間subspaceと呼び、以下のように表記する。

WV W \le V

説明

ベクトル空間VVの部分集合WWVVの部分空間かどうかを判断するためには、ベクトル空間になるための10の規則を全て満たさなければならない。ベクトル空間の部分集合を取るたびに10の規則を全て確認するのはかなり面倒で困難なことになるだろう。しかし幸いなことに、あるベクトル空間の部分集合である理由だけで、いくつかの規則は自明に成立する。

例えばu,v\mathbf{u},\mathbf{v}WWの要素であれば、同時にVVの要素であるため、(A2), (A3), (M2)-(M5) は自然に成立する。したがって、加算に対する閉包性**(A1)、ゼロベクトルの存在(A4)、逆の存在(A5)、スカラー乗算に対する閉包性(M1)だけを確認すれば、WWは部分空間であることがわかる。しかし実際にはもっと単純である。条件(A1)(M1)**を満たすことが部分空間であるための同値条件となる。

ベクトル空間VVの部分空間の例には、以下のものがある。

線形変換T:VWT : V \to Wに対して、

  • TT零空間N(T)VN(T) \le V
  • TT値域R(T)WR(T) \le W

線形変換T:VVT : V \to Vに対して、

定理: 部分空間判定法

WWをベクトル空間VVの空集合でない部分集合とする。WWVVの部分空間であることとWWが以下の二つの条件を満たすことは必要十分条件である。

(A1) 部分集合WWVVで定義された加算に対して閉じている。

(M1) 部分集合WWVVで定義されたスカラー乗算に対して閉じている。

証明

  • (    )(\implies)

    WWVVの部分空間であると仮定する。WWが部分空間であれば、ベクトル空間の定義によりWWが**(A1)(M1)**を満たすことは自明である。

  • (    )(\impliedby)

    WW(A1)(A1)(M1)(M1)を満たすと仮定する。そしてuW\mathbf{u} \in Wとする。そうするとWWはスカラー乗算に対して閉じていて、0u=00\mathbf{u}=\mathbf{0}であるため、以下が成立する。

    0u=0W 0 \mathbf{u} = \mathbf{0} \in W

    同じ理由で(1)u=u(-1)\mathbf{u}=-\mathbf{u}によって以下が成立する。

    (1)u=uW (-1)\mathbf{u} = -\mathbf{u} \in W

    したがってWWは**(A1)-(M5)**を全て満たすのでVVの部分空間である。

定理: 部分空間の交差も部分空間である2

W1,W2W_{1}, W_2をベクトル空間VVの部分空間とする。するとW1W2W_{1} \cap W_2VVの部分空間である。

証明

部分空間判定法により、W1W2W_{1} \cap W_2が**(A1)(M1)**を満たしているか確認すればよい。W=W1W2W= W_{1} \cap W_2とする。

  • (A1)

    W=W1W2W = W_{1} \cap W_2であるため、WW内の任意の二つのベクトルu,v\mathbf u,\mathbf vはそれぞれW1W_{1}W2W_2にも含まれている。W1,W2W_{1}, W_2は部分空間であるため、加算に対して閉じている。したがって

、以下が成立する。

u+vW1,u+vW2 \mathbf u + \mathbf v \in W_{1}, \quad \mathbf u + \mathbf v \in W_2

したがって、交差の定義により以下が成立する。

u+vW \mathbf u + \mathbf v \in W

WW内の任意の二つのベクトルu, v\mathbf u,\ \mathbf vに対して、u+v\mathbf u + \mathbf vWWの要素であるため、WWは加算に対して閉じており、**(A1)**を満たす。

  • (M1)

    上記の場合と同様に証明する。

    W=W1W2W = W_{1} \cap W_2であるため、WW内の任意のベクトルu\mathbf uW1W_{1}W2W_2にも含まれている。W1, W2W_{1},\ W_2は部分空間であるため、スカラー乗算に対して閉じている。したがって、あるスカラーkkに対して以下が成立する。

    kuW1kuW2 k\mathbf{u} \in W_{1} \quad k \mathbf{u} \in W_2

    したがって、交差の定義により以下が成立する。

    kuW k\mathbf u \in W

    WW内の任意のベクトルu\mathbf uに対して、kuk\mathbf uWWの要素であるため、WWはスカラー乗算に対して閉じており、**(M1)**を満たす。

  • 結論

    W1,W2W_{1}, W_{2}が部分空間の時、W=W1W2W = W_{1} \cap W_2が**(A1)(M1)**を満たすので、WWも部分空間である。

従来の定理

W1,W2,WnW_{1}, W_{2}, \dots W_{n}がベクトル空間VVの部分空間とする。するとW=W1WnW = W_{1} \cap \cdots \cap \dots W_{n}VVの部分空間である。


  1. Howard Anton, 基礎線形代数: アプリケーションバージョン (第12版, 2019), p211-212 ↩︎

  2. Howard Anton, 基礎線形代数: アプリケーションバージョン (第12版, 2019), p216 ↩︎