連立方程式で理解するランクと零次元
歴史的背景
歴史的には、行列が考案された背景は、連立方程式をより簡単に、便利に記述するためであった。例えば連立方程式
$$ \begin{cases} 2x_{1} & + & x_{2} & + & x_{3} =& 0 \\ & x_{2} & =& 0 \end{cases} $$
を見れば、同じ変数を何度も書く必要があるという不便さがある。これを行列で表すと
$$ \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} $$
のように整った形できれいに表現できる。数式を簡単に表現し、容易に操作する技術の重要性は言うまでもないだろう。連立方程式が大きく複雑になるほど、このテクニックはますます便利になり、行列代数が発展した。さらに、線形構造の探求と空間の一般化が行われ、線形代数学という名前で完成したのである。
理解が難しい理由
しかし、学ぶ側からすると、列空間や零空間などの概念とともに抽象化されていく線形代数を追いかけるのは難しいかもしれない。確かに最初は$(1,0, \cdots , 0)$のようなベクトルだったのに、ある時点からは行列がどこかに消え、新しい概念がどんどん出てくるからだ。
例えば、$\dim \mathcal{C} (A) = \text{rank}(A)$や$\dim \mathcal{N} (A) = \text{nullity} (A)$のような表現は書くにはすっきりしているが、意味を理解するのは難しい。ここで再び連立方程式の概念に戻ると、$\text{rank}$や$\text{nullity}$を容易に理解できる。
例
先に例で挙げた
$$ \begin{cases} 2x_{1} & + & x_{2} & + & x_{3} =& 0 \\ & x_{2} & =& 0 \end{cases} $$
を見ると、式は2つだが、未知数は3つである。ご存知の通り、連立方程式の解が自明でないと同時に唯一の解を持つ場合は、式の数と未知数の数が一致するときだけである。したがって、$x_2 = 0$であり、$2 x_1 = - x_3$となり、2つの変数のみを使用して解を表現できるようになる。この意味で、$\text{rank}$を「実際に使用する変数の数」とし、$\text{nullity}$を「使用しない変数の数」と考えてみよう。
$A \in \mathbb{R}^{ m \times n }$について、
$$ \begin{align*} \text{rank} (A) + \text{nullity} (A) =& \dim \mathbb{R}^{n} = n \\ \text{rank} (A^{T}) + \text{nullity} (A^{T}) =& \dim \mathbb{R}^{m} = m \end{align*} $$
定理を使用して得られた説明が合っているか、確認してみよう。
$$ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} $$ とすると、$A \in \mathbb{R}^{ 2 \times 3 }$である。
$$ \dim \mathcal{C} (A) = \dim \text{span} \left\{ \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right\} = 2 $$
そして
$$ \dim \mathcal{N} (A) = \dim \text{span} \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{bmatrix} \right\} = 1 $$
したがって
$$ \text{rank} (A) + \text{nullity}(A) = 2 + 1 = 3 = \dim (\mathbb{R}^{3}) $$