ガンマ関数の単純極
📂関数ガンマ関数の単純極
定理
複素関数としてのガンマ関数 Γ の定義域は以下の通りです。
C∖(Z∖N)=C∖{0,−1,−2,⋯}
それだけでなく、Γ の特異点の集合 (Z∖N) は単純極の集合です。
説明
可視化
上の図は実数軸でガンマ関数の実部のみをグラフに描いたもので、非正の整数で関数値が発散することが確認できます。
コード
以下は可視化のためのジュリアのコードです。
using SpecialFunctions, LaTeXStrings
z = -5:0.001:5
Γz = gamma.(Complex.(z))
plot(z, real.(Γz), lw = 2, color = :black, xticks = -5:1:5,
xlims = [-5, 5], ylims = [-5, 5], size = [400, 400])
hline!([0], color = :black)
vline!(-5:0, style = :dash, color = :red)
xlabel!(L"\Re(z)")
ylabel!(L"\Re(\Gamma (z))")
証明
オイラーの反射公式:
Γ(1−p)Γ(p)=sinπpπ
Re(z)>0 においてガンマ関数 Γ(z)=∫0∞tz−1etdt は 0 ではない値でよく定義されます。オイラーの反射公式の両辺で Γ(z) を割ると次のようになります。
Γ(1−z)=Γ(z)sinπzπ
z=1 を代入すると
Γ(0)=Γ(1−1)=Γ(1)⋅sin0ππ=0!⋅0π=∞
になり、z=2 を代入すると
Γ(−1)=Γ(1−2)=Γ(2)⋅sin1ππ=1!⋅0π=∞
になります。このような発散はすべての z∈{0,1,2,…} で同じなので、Γ はすべての非正の整数で特異点を持ち、それらすべての特異点は分母に sinπz が一つだけあるので単純極です。
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