logo

凸関数、凹関数 📂関数

凸関数、凹関数

定義

convex.jpg

区間 I⊂RI \subset \mathbb{R} の二つの要素 x1,x2x_{1} , x_{2} と関数 f:I→Rf : I \to \mathbb{R} および 0≤t≤10 \le t \le 1 について、

  1. f(tx1+(1−t)x2)≤tf(x1)+(1−t)f(x2)f( t x_{1} + (1-t) x_{2}) \le t f(x_{1}) + (1-t) f(x_{2}) のとき、ff は IIでの凸関数と定義される。
  2. f(tx1+(1−t)x2)≥tf(x1)+(1−t)f(x2)f( t x_{1} + (1-t) x_{2}) \ge t f(x_{1}) + (1-t) f(x_{2}) のとき、ff は IIでの凹関数と定義される。

説明

凸や凹には、上向きの凸や下向きの凹など、混乱しやすい表現が多いため、グラフの形状に対応させて**凸(convex)と凹(concave)**を英語のまま使用して記憶することを強く推奨する。式を見ただけでは一見馴染みのない定義に思えるが、内分の概念を考えれば、非常に直感的な定義として受け入れられるだろう。直感的に難しくない概念なので、式的な展開や説明が必要ない場合は、わざわざ定義を覚える必要もない。通常、中学校の二次関数から始まり、二階導関数の符号などを延々と見てきたため、その性質も親しみやすいはずだ。

正直に言って

正直に言って、凹はあまり使われず、凸だけで考えればいいと思う。

二階導関数

凸関数の二階導関数: ff が II で二回微分可能とする。ff が II で凸であることと f′′(x)≥0f '' (x) \ge 0 は必要十分条件である。

ここで、二回微分可能という条件が加わっていることに注目しよう。通常、例として y=x2y = x^2 や y=ln⁡xy = \ln {x} のような曲線が使用されるが、見逃しやすい点だが、私たちが再定義した凸関数では「連続」であることは言及されていないことに気づくだろう。

一緒に見る