凸関数、凹関数
定義
区間 $I \subset \mathbb{R}$ の二つの要素 $x_{1} , x_{2}$ と関数 $f : I \to \mathbb{R}$ および $0 \le t \le 1$ について、
- $f( t x_{1} + (1-t) x_{2}) \le t f(x_{1}) + (1-t) f(x_{2})$ のとき、$f$ は $I$での凸関数と定義される。
- $f( t x_{1} + (1-t) x_{2}) \ge t f(x_{1}) + (1-t) f(x_{2})$ のとき、$f$ は $I$での凹関数と定義される。
説明
凸や凹には、上向きの凸や下向きの凹など、混乱しやすい表現が多いため、グラフの形状に対応させて**凸(convex)と凹(concave)**を英語のまま使用して記憶することを強く推奨する。式を見ただけでは一見馴染みのない定義に思えるが、内分の概念を考えれば、非常に直感的な定義として受け入れられるだろう。直感的に難しくない概念なので、式的な展開や説明が必要ない場合は、わざわざ定義を覚える必要もない。通常、中学校の二次関数から始まり、二階導関数の符号などを延々と見てきたため、その性質も親しみやすいはずだ。
正直に言って
正直に言って、凹はあまり使われず、凸だけで考えればいいと思う。
二階導関数
凸関数の二階導関数: $f$ が $I$ で二回微分可能とする。$f$ が $I$ で凸であることと $f '' (x) \ge 0$ は必要十分条件である。
ここで、二回微分可能という条件が加わっていることに注目しよう。通常、例として $y = x^2$ や $y = \ln {x}$ のような曲線が使用されるが、見逃しやすい点だが、私たちが再定義した凸関数では「連続」であることは言及されていないことに気づくだろう。