二つの母平均の差に対する小標本仮説検定
📂統計的検定二つの母平均の差に対する小標本仮説検定
仮説検証
互いに独立した二つの母集団がそれぞれ正規分布N(μ1,σ12)とN(μ2,σ22)に従っておりσ12=σ2=σ22、つまり、それぞれの母分散を知ることはできないが、等しいとする。標本が少標本であり、標本の数がn1,n2<30の場合、二つの母平均の差に関する仮説D0の検討は次の通りだ。
- H0: μ1−μ2=D0。つまり、母平均の差はD0だ。
- H1: μ1−μ2=D0じゃない。つまり、母平均の差はD0じゃない。
検定統計量
検定統計量は標本標準偏差s1,s2を使って次のようになる。
t=sp2(n11+n21)(X1−X2)−D0
ここで、sp2は次のように計算される標本合同分散だ。
sp2=n1+n2−2(n1−1)s12+(n2−1)s22
この検定統計量はt-分布に従うが、その自由度dfは床関数⌊⋅⌋に基づいて次のように計算される。
df=n1−1(s12/n1)2+n2−1(s22/n2)2(n1s12+n2s22)2
導出
戦略:基本的に、新入生はもちろん、ある程度経験を積んだ学部生でも理解は難しく、修士以上のレベルでは直感的に理解できるものだ。逆に言えば、そこまで勉強していれば、実は補助定理をいくつか並べるだけで済む。
標本合同分散: 各母分散を知ることはできないが等しいとすることができる時、母分散に対する不偏推定量は次の通りだ。
Sp2:=(n1−1)+⋯+(nm−1)(n1−1)S12+⋯+(nm−1)Sm2=∑i=1m(ni−1)∑i=1m(ni−1)Si2
セータースウェイト近似: k=1,⋯,nとしYk∼χrk2でak∈Rとする。あるν>0に対して
k=1∑nakYk∼νχν2
と仮定すれば、その推定量として次のν^を使うことができる。
ν^=∑krkak2Yk2(∑kakYk)2
独立な正規分布とカイ二乗分布からのスチューデントのt-分布の導出: 二つの確率変数W,Vが独立でありW∼N(0,1)、V∼χ2(r)とすると
T=V/rW∼t(r)
t=sp2(n11+n21)(X1−X2)−D0=σ2dfsp2/dfσ/n11+n21(X1−X2)−D0
セータースウェイト近似によると、右側の分母は自由度dfのカイ二乗分布に従い、分子は標準正規分布に従い、tは近似的に自由度dfのt-分布に従う。確率変数Yがt-分布t(df)に従うとすると、有意水準αにおいてP(Y≥tα)=αを満たすtαに対してH0が棄却されるということは次の通りだ。
∣t∣≥tα
これは、帰無仮説に従ってμ1−μ2=D0と信じるにはX1−X2がD0から遠くにあるという意味になる。
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