logo

複素空間の位相空間学 📂複素解析

複素空間の位相空間学

概要

複素数の集合C\mathbb{C}を位相空間として扱うための定義を紹介する。位相空間とは言っても、ほとんどが距離空間での定義を複素集合に特化させたものだ。解析入門を一生懸命勉強したなら、そんなに難しくなく受け入れられる。

定義 1

α∈C\alpha \in \mathbb{C}で、δ>0\delta > 0で、S⊂CS \subset \mathbb{C}とする。

集合の開閉

  1. 以下のような集合をα\alphaのオープン近傍またはオープンボールという。 B(α;δ):={z∈C:∣z−α∣<δ} B \left( \alpha ; \delta \right) := \left\{ z \in \mathbb{C} : \left| z - \alpha \right| < \delta \right\} アスタリスクasterisk∗\astが上付き文字としてついている場合は、中心のα\alphaを除外したものである。例えばB∗(α;δ)B^{\ast} \left( \alpha ; \delta \right)は以下のように定義され、空孔ボールと呼ばれる。 B∗(α;δ):={z∈C:0<∣z−α∣<δ} B^{\ast} \left( \alpha ; \delta \right) := \left\{ z \in \mathbb{C} : 0 < \left| z - \alpha \right| < \delta \right\}
  2. α\alphaのオープンボールのどれかがSSに含まれる場合、α\alphaをSSの内点という。 ∃δ:B(α,δ)⊂S \exist \delta : B \left( \alpha , \delta \right) \subset S
  3. α\alphaの全ての空孔オープンボールがSSと互いに素ではない場合、α\alphaをSSの集積点という。 ∀δ:B∗(α,δ)∩S≠∅ \forall \delta : B^{\ast} \left( \alpha , \delta \right) \cap S \ne \emptyset
  4. SSの全ての点がSSの内点である場合、SSは開いていると言い、SSが全ての集積点を含む場合、閉じていると言う。

有界とコンパクト

  1. S⊂CS \subset \mathbb{C}の全ての元z∈Sz \in Sに対して∣z∣≤M\left| z \right| \le Mを満たす正数M>0M > 0が存在する場合、SSはバウンデッドと言う。
  2. クローズドでバウンデッドならコンパクトと言う。

複素領域

  1. S⊂CS \subset \mathbb{C}の全ての2点が経路で構成される線分で繋がることができるなら、SSは**(多角)連結**集合と言う。
  2. 空集合でなくオープンな連結集合R⊂C\mathscr{R} \subset \mathbb{C}を領域と言い、特に複素空間での領域を意味する場合、複素領域と強調する。

追加定義

上の段落では、特に複素解析だけでなく、数学で普遍的に必要な部分のみを要約した。当然、次のような定義や記号も必要な時がある。

  1. 以下のような集合をα\alphaのクローズド近傍またはクローズドボールという。 B[α;δ]:={z∈C:∣z−α∣≤δ} B \left[ \alpha ; \delta \right] := \left\{ z \in \mathbb{C} : \left| z - \alpha \right| \le \delta \right\}
  2. α\alphaの全てのオープン近傍がSSとScS^{c}の点を含む場合、α\alphaを境界点という。α\alphaが内点でも境界点でもない場合、外点と言う。
  3. SSの全ての集積点の集合をSSの閉包と言い、S‾\overline{S}のように表す。
  4. C∖S\mathbb{C} \setminus Sが連結集合なら、連結集合SSを単純連結と言う。

参照

複素数集合C\mathbb{C}は体の公理に従うだけでなく、複素数のモジュラス∣⋅∣\left| \cdot \right|が与えられることによってノルム空間でもあり、距離空間である。したがって、距離空間に既に馴染みがあれば、複素空間として新たに学ぶべきことは何もない。

  1. Osborne (1999). Complex variables and their applications: p10~12. ↩︎