有理型関数の零点と極点
📂複素解析有理型関数の零点と極点
定理
シンプルな閉路 Cで、解析的な関数 fがC 内でZ個の零点と P個の極を持ち、C上でf(z)=0とすると、
2πi1∫Cf(z)f′(z)dz=Z−P
説明
解析的数論
関数 f:C→Cが極を持たない場合、方程式f(z)=0の解の数を数える公式になるだろう。整数が登場したことが注目に値する。一見、複素解析は数論と全く関係がないように見えるが、実際は非常に多く使われている。数論では、「素朴な証明」と呼ばれる、複素解析を使わない証明があるほどだ。
ログトリック
このような形の被積分関数は無意味に思えるかもしれないが、logfの導関数の形である。このような形は思った以上に数学全般で頻繁に登場する。
算術関数の微分: 算術関数fの微分または導関数 f′ を以下のように定義する。
f′(n):=f(n)logn,n∈N
証明
戦略: 一般性を失わずに、n次の零点とm次の極をそれぞれ一つだけ持つとする。幾何学的には一点に見えるかもしれないが、代数的には重複度 n と m を持つ、つまり、複数の点が一箇所に集まっているとみなされる。これら二点についての公式を導出し、Cを分割して複数の点に一般化すればいい。
パート1. 零点
αをfのn次の零点とすると、何らかの関数gに対して、f(z)=(z−α)ng(z)と表せられ、その導関数
f′(z)=n(n−α)n−1g(z)+(z−α)ng′(z)
をf(z)で割ると、次のように左辺をログ微分関数のトリック形で表せる。
f(z)f′(z)=z−αn+g(z)g′(z)
C上ではf(z)=0であるため、logfはC全体で解析的である。また、解析的関数の導関数も解析的であるため、f′/fも解析的であり、同様に、C上ではf(z)=0であるため、1/(z−α)も解析的である。したがって、g(z)g′(z)=z−αn−f(z)f′(z)もαで解析的である。
- コーシーの積分公式
f(α)=2πi1∫Cz−αf(z)dz
- コーシーの定理:
∫Cf(z)dz=0
fの他の零点や極を含まないαのある近傍Nαで、コーシーの積分公式により
∫Nαz−αndz=2nπi
コーシーの定理により
∫Nαg(z)g′(z)dz=0
したがって、次の結果を得る。
∫Nαf(z)f′(z)dz=0+2nπi
パート2. 極
極についても、零点の場合と同様である。βをfのm次の極とする。すると、何らかの関数hに対してf(z)=(z−β)mh(z)と表せるだろう。
一方f(z)f′(z)=h(z)h′(z)−z−βmで、h(z)h′(z)はβの近傍Nβで解析的であるので、コーシーの定理により
∫Nβh(z)h′(z)dz=0
コーシーの積分公式により
∫Nβz−αmdz=2mπi
パート3. 結論
一般化された縮小補題により、全ての零点と極に対して今までの計算を有限に繰り返すと、次を得る。
2πi1∫Cf(z)f′(z)dz=∑ni−∑mj=Z−P
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