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有理型関数の零点と極点 📂複素解析

有理型関数の零点と極点

定理 1

シンプルな閉路 C\mathscr{C}で、解析的関数 ffC\mathscr{C} 内でZZ個の零点PP個のを持ち、C\mathscr{C}上でf(z)0f(z) \ne 0とすると、 12πiCf(z)f(z)dz=ZP {{1} \over {2 \pi i }} \int_{\mathscr{C}} {{f ' (z)} \over {f(z)}} dz = Z - P


  • ZZPPは重複を含む合計だ。

説明

解析的数論

関数 f:CCf : \mathbb{C} \to \mathbb{C}を持たない場合、方程式f(z)=0f(z) = 0の解の数を数える公式になるだろう。整数が登場したことが注目に値する。一見、複素解析は数論と全く関係がないように見えるが、実際は非常に多く使われている。数論では、「素朴な証明」と呼ばれる、複素解析を使わない証明があるほどだ。

ログトリック

このような形の被積分関数は無意味に思えるかもしれないが、logf\log fの導関数の形である。このような形は思った以上に数学全般で頻繁に登場する。

算術関数の微分: 算術関数ffの微分または導関数 ff ' を以下のように定義する。 f(n):=f(n)logn,nN f ' (n) := f(n) \log n \qquad , n \in \mathbb{N}

証明

戦略: 一般性を失わずに、nn次の零点とmm次の極をそれぞれ一つだけ持つとする。幾何学的には一点に見えるかもしれないが、代数的には重複度 nnmm を持つ、つまり、複数の点が一箇所に集まっているとみなされる。これら二点についての公式を導出し、C\mathscr{C}を分割して複数の点に一般化すればいい。


パート1. 零点

α\alphaffnn次の零点とすると、何らかの関数ggに対して、f(z)=(zα)ng(z)f(z) = (z- \alpha)^{n} g(z)と表せられ、その導関数 f(z)=n(nα)n1g(z)+(zα)ng(z) f ' (z) = n \left( n - \alpha \right)^{n-1} g(z) + (z- \alpha)^{n} g ' (z) f(z)f(z)で割ると、次のように左辺をログ微分関数のトリック形で表せる。 f(z)f(z)=nzα+g(z)g(z) {{f ' (z)} \over {f(z)}} = {{n} \over {z - \alpha}} + {{g ' (z)} \over {g(z)}} C\mathscr{C}上ではf(z)0f(z) \ne 0であるため、logf\log fC\mathscr{C}全体で解析的である。また、解析的関数の導関数も解析的であるため、f/ff ' / fも解析的であり、同様に、C\mathscr{C}上ではf(z)0f(z) \ne 0であるため、1/(zα)1 / (z - \alpha)も解析的である。したがって、g(z)g(z)=nzαf(z)f(z)\displaystyle {{g ' (z)} \over {g(z)}} = {{n} \over {z - \alpha}} - {{f ' (z)} \over {f(z)}}α\alpha解析的である。

  • コーシーの積分公式 f(α)=12πiCf(z)zαdz f(\alpha) = {{1} \over {2 \pi i }} \int_{\mathscr{C}} {{f(z)} \over { z - \alpha }} dz
  • コーシーの定理: Cf(z)dz=0 \int_{\mathscr{C}} f(z) dz = 0

ffの他の零点や極を含まないα\alphaのある近傍Nα\mathcal{N}_{\alpha}で、コーシーの積分公式により Nαnzαdz=2nπi \int_{\mathcal{N}_{\alpha}} {{n} \over {z - \alpha}} dz = 2 n \pi i コーシーの定理により Nαg(z)g(z)dz=0 \int_{\mathcal{N}_{\alpha}} {{g ' (z)} \over {g(z)}} dz = 0 したがって、次の結果を得る。 Nαf(z)f(z)dz=0+2nπi \int_{\mathcal{N}_{\alpha}} {{f ' (z)} \over {f(z)}} dz = 0 + 2 n \pi i


パート2. 極

についても、零点の場合と同様である。β\betaffmm次のとする。すると、何らかの関数hhに対してf(z)=h(z)(zβ)m\displaystyle f(z) = {{h(z)} \over {(z - \beta)^m}}と表せるだろう。

一方f(z)f(z)=h(z)h(z)mzβ\displaystyle {{f ' (z)} \over {f(z)}} = {{h ' (z)} \over {h(z)}} - {{m} \over {z - \beta}}で、h(z)h(z)\displaystyle {{h ' (z)} \over {h(z)}}β\betaの近傍Nβ\mathcal{N}_{\beta}解析的であるので、コーシーの定理により Nβh(z)h(z)dz=0 \int_{\mathcal{N}_{\beta}} {{h ' (z)} \over {h(z)}} dz = 0 コーシーの積分公式により Nβmzαdz=2mπi \int_{\mathcal{N}_{\beta}} {{m} \over {z - \alpha}} dz = 2 m \pi i


パート3. 結論

一般化された縮小補題により、全ての零点に対して今までの計算を有限に繰り返すと、次を得る。 12πiCf(z)f(z)dz=nimj=ZP {{1} \over {2 \pi i }} \int_{\mathscr{C}} {{f ' (z)} \over {f(z)}} dz = \sum n_{i} - \sum m_{j} = Z - P


  1. Osborne (1999). Complex variables and their applications: p98. ↩︎