📂数理統計学

ロケーションファミリー

定義

累積分布関数 $F$ について $F_{\theta}$ が全ての $x$ に対し $F_{\theta} (x) = F \left( x - \theta \right)$ を満たすとする。

$\left\{ F_{\theta} : \theta \in \mathbb{R} \right\}$ をロケーションファミリーと呼ぶ。

例 ¹

パラメーター $\theta$ のランダムサンプル $X_{1} , \cdots , X_{n}$ が累積分布関数 $F_{0} (x) = F (x - 0) = F(x)$ を持つと考えると、サンプル $Z_{1} , \cdots , Z_{n}$ は $$X_{i} = Z_{i} + \theta$$ と表される。このサンプルの統計量としての範囲^rangeの長さ $R = X_{n} - X_{(1)}$ は、実際には $\theta$ がどうであれ一定であるべきだ。$\theta$ は単に値の大きさを増加させたり減少させたりするだけで、その分散には影響を与えないからである。実際に $R$ のジョイント累積分布関数は $$\begin{align*} F_{R} \left( r ; \theta \right) =& P_{\theta} \left( R \le r \right) \\ =& P_{\theta} \left( X_{(n)} - X_{(1)} \le r \right) \\ =& P_{\theta} \left( \max_{k} X_{k} - \min_{k} X_{k} \le r \right) \\ =& P_{\theta} \left( \max_{k} \left( Z_{k} + \theta \right) - \min_{k} \left( Z_{k} + \theta \right) \le r \right) \\ =& P_{\theta} \left( \max_{k} \left( Z_{k} \right) + \theta - \min_{k} \left( Z_{k} \right) - \theta \le r \right) \\ =& P_{\theta} \left( Z_{(n)} - Z_{(1)} \le r \right) \end{align*}$$ である。言い換えると、$R$ は$\theta$ の補助統計量である。

参照

• 指数ファミリー
• スケールファミリー