📂複素解析

ガウスの平均値定理の証明

定理

関数 $f$ が閉じた円 $| z - z_{0} | \le r$ 内で解析的だとしよう。そうすると、 $$f(z_{0}) = {{1} \over {2 \pi}} \int_{0}^{2 \pi} f(z_{0} + r e ^{i \theta } ) d \theta$$

説明

微分の平均値の定理が一般化を経ていくつもの数学者の名前がついた定理を生み出したように、積分の平均値の定理にもガウスの名前がついたバージョンが存在する。それは積分の平均値の定理の形をしているが、その概念をよく考えてみると、そう簡単には納得がいかない定理だ。

証明

コーシーの積分公式: $$f (z_{0}) = {{1} \over {2 \pi i }} \int_{\mathscr{C}} {{f(z)} \over { (z - z_{0}) }} dz$$

コーシーの積分公式により、 $$f(z_{0}) = {{1} \over {2 \pi i }} \int_{ |z-z_{0} |= r } {{f(z)} \over { (z - z_{0}) }} dz$$ $z(\theta) = r e ^{ i \theta } + z_{0} , 0 \le \theta \le 2 \pi$ に置き換えると、 $$\begin{align*} f(z_{0}) =& {{1} \over {2 \pi i }} \int_{0}^{2 \pi} {{f( z_{0} + r e^{i \theta} )} \over { r e ^{ i \theta} }} i r e^{i \theta } d \theta \\ =& {{1} \over {2 \pi }} \int_{0}^{2 \pi} f( z_{0} + r e^{i \theta} ) d \theta \end{align*}$$

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参照

• 平均値の定理
• コーシーの平均値の定理
• 積分の平均値の定理