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二項定理の証明 📂レンマ

二項定理の証明

定義

  1. 有限集合部分集合組合せcombinationという。
  2. 基数nn集合から、基数がkkの部分集合の数を(nk)\binom{n}{k}またはnCk_{n}C_{k}と表し、二項係数binomial coefficientと呼ぶ。 (nk)=nCk=n!k!(nk)! \binom{n}{k} = _{n}C_{k} = \frac{ n! }{ k! (n-k)! }

定理

二項定理binomial theorem

(x+y)n=k=0n(nk)xkynk (x+y)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{k} y^{n-k}

パスカル恒等式

(nk)+(nk+1)=(n+1k+1) \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}

二項係数の和の公式

2n=k=0n(nk) 2^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}

二項係数の減法公式

(nk)(nk)1=(n1k1) \binom{n}{k} \left( {\frac{ n }{ k }} \right)^{-1} = \binom{n-1}{k-1}

二項係数の平方和公式

(2nn)=k=0n(nk)2 \binom{2n}{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^{2}

説明

参考までに、上記の二項定理を除くその他の公式の名前は、実際には普及していない単語であり、単に便宜上付けた名称であることに注意。

二項定理は組合せ論で最も有名で重要な定理として、あらゆる分野で広く応用される。

証明

二項定理以外の証明は、それぞれの公式ごとの文書で別途取り扱う。


(x+y)n(x+y)^{n}を展開する際、xkynkx^{k} y^{n-k}の係数は (x+y)n=(x+y)(x+y)(x+y)(x+y) (x+y)^{n} = (x+y)(x+y)(x+y) \cdots (x+y) の各(x+y)(x+y)の中からxxnn個、yynrn-r個選択するのと同じである。したがって、組合せの数nCr_n C _rxkynkx^{k} y^{n-k}の係数となるため、次が成り立つ。 (x+y)n=k=0nnCkxkynk (x+y)^{n} = \sum_{k=0}^{n} {_n C _k} x^{k} y^{n-k}