二項定理の証明
📂レンマ二項定理の証明
定義
- 有限集合の部分集合を組合せcombinationという。
- 基数がnの集合から、基数がkの部分集合の数を(kn)またはnCkと表し、二項係数binomial coefficientと呼ぶ。
(kn)=nCk=k!(n−k)!n!
定理
二項定理binomial theorem
(x+y)n=k=0∑n(kn)xkyn−k
(kn)+(k+1n)=(k+1n+1)
2n=k=0∑n(kn)
(kn)(kn)−1=(k−1n−1)
(n2n)=k=0∑n(kn)2
説明
参考までに、上記の二項定理を除くその他の公式の名前は、実際には普及していない単語であり、単に便宜上付けた名称であることに注意。
二項定理は組合せ論で最も有名で重要な定理として、あらゆる分野で広く応用される。
証明
二項定理以外の証明は、それぞれの公式ごとの文書で別途取り扱う。
(x+y)nを展開する際、xkyn−kの係数は
(x+y)n=(x+y)(x+y)(x+y)⋯(x+y)
の各(x+y)の中からxをn個、yをn−r個選択するのと同じである。したがって、組合せの数nCrがxkyn−kの係数となるため、次が成り立つ。
(x+y)n=k=0∑nnCkxkyn−k
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