二項定理の証明
定義
- 有限集合の部分集合を組合せcombinationという。
- 基数が$n$の集合から、基数が$k$の部分集合の数を$\binom{n}{k}$または$_{n}C_{k}$と表し、二項係数binomial coefficientと呼ぶ。 $$ \binom{n}{k} = _{n}C_{k} = \frac{ n! }{ k! (n-k)! } $$
定理
二項定理binomial theorem
$$ (x+y)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{k} y^{n-k} $$
パスカル恒等式
$$ \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1} $$
二項係数の和の公式
$$ 2^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} $$
二項係数の減法公式
$$ \binom{n}{k} \left( {\frac{ n }{ k }} \right)^{-1} = \binom{n-1}{k-1} $$
二項係数の平方和公式
$$ \binom{2n}{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^{2} $$
説明
参考までに、上記の二項定理を除くその他の公式の名前は、実際には普及していない単語であり、単に便宜上付けた名称であることに注意。
二項定理は組合せ論で最も有名で重要な定理として、あらゆる分野で広く応用される。
証明
二項定理以外の証明は、それぞれの公式ごとの文書で別途取り扱う。
$(x+y)^{n}$を展開する際、$x^{k} y^{n-k}$の係数は $$ (x+y)^{n} = (x+y)(x+y)(x+y) \cdots (x+y) $$ の各$(x+y)$の中から$x$を$n$個、$y$を$n-r$個選択するのと同じである。したがって、組合せの数$_n C _r$が$x^{k} y^{n-k}$の係数となるため、次が成り立つ。 $$ (x+y)^{n} = \sum_{k=0}^{n} {_n C _k} x^{k} y^{n-k} $$
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