📂確率微分方程式

CKLS平均回帰ガンマ確率微分方程式

モデル ¹

$$d X_{t} = \left( \alpha - \beta X_{t} \right) dt + \sigma X_{t}^{\gamma} d W_{t} \qquad , X_{0} > 0$$ $\alpha, \beta, \sigma, \gamma > 0$ とする。この確率微分方程式を CKLS 平均復帰ガンマ確率微分方程式と言う。

変数

• $X_{t}$: 利息率や遺伝子頻度を表す。

パラメータ

• $\alpha / \beta$: 平均復帰で、$X_{t}$ は長期的に見てこの値に戻ろうとする。
• $\alpha > 0$: 調整速度で、値が大きいほど平均に戻る速度が速くなる。
• $\sigma > 0$: 変動性を表す。
• $\gamma > 0$: $X_{t}$ と変動性の間の非線形関係を表す。

説明

CKLS 方程式は、チャン、カロイ、ロングスタッフ、サンダースによって提案された確率微分方程式であり、金融数学で広く知られているいくつかのモデルの一般化として見ることができる。

• $\gamma = 0$: オーンスタイン・ウーレンベック方程式になる。
• $\gamma = {{ 1 } \over { 2 }}$: CIR モデルになる。
• $\gamma = 1$: 幾何ブラウン運動（GBM）になる。