積分の平均値定理
📂解析学積分の平均値定理
定理
閉区間[a,b]で関数fが連続であるとすると、f(c)=b−a1∫abf(x)dxを満たすcが(a,b)に少なくとも一つ存在する。
説明
平均値の定理に似ているが、積分に使用されるので、このような名前がついている。使用法も非常に似ており、その有用性は平均値の定理に全く劣らない。一方で、関数の平均値を右側のように定義することを考えると、むしろこれが平均値の定理であり、広く知られている平均値の定理が「微分の平均値の定理」と呼ばれるのが妥当かもしれない。
証明
戦略: fの連続性が仮定されているので、最大最小値の定理と中間値の定理を使用する。
fが[a,b]で連続であり、最大最小値の定理によって最小値mと最大値Mが存在するので、
∫abmdx≤∫abf(x)dx≤∫abMdx
⟹m≤b−a1∫abf(x)dx≤M
もう一度、fが[a,b]で連続であるため、中間値の定理によれば、mとMの間に、b−a1∫abf(x)dxに対してf(c)=b−a1∫abf(x)dxを満たすcがaとbの間に少なくとも一つ存在する。
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同様に、重みwに対して一般化することができる。上で紹介された形式はw(x)=1の場合であり、∫abdx=b−aとなり、以下の定理によくカバーされている。
従論
閉区間[a,b]で関数fが連続であり、w(x)≥0が積分可能である場合、∫abf(x)w(x)dx=f(ξ)∫abw(x)dxを満たすξが(a,b)に少なくとも一つ存在する。
参考