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積分の平均値定理 📂解析学

積分の平均値定理

定理

閉区間[a,b][a,b]関数ffが連続であるとすると、f(c)=1baabf(x)dx\displaystyle f(c) = {{1}\over {b-a} } \int_{a}^{b} f(x) dxを満たすcc(a,b)(a,b)に少なくとも一つ存在する。

説明

平均値の定理に似ているが、積分に使用されるので、このような名前がついている。使用法も非常に似ており、その有用性は平均値の定理に全く劣らない。一方で、関数の平均値を右側のように定義することを考えると、むしろこれが平均値の定理であり、広く知られている平均値の定理が「微分の平均値の定理」と呼ばれるのが妥当かもしれない。

証明

戦略: ffの連続性が仮定されているので、最大最小値の定理中間値の定理を使用する。


ff[a,b][a,b]で連続であり、最大最小値の定理によって最小値mmと最大値MMが存在するので、

abmdxabf(x)dxabMdx \int_{a}^{b} m dx \le \int_{a}^{b} f(x) dx \le \int_{a}^{b} M dx

    m1baabf(x)dxM \implies m \le {{1}\over {b-a} } \int_{a}^{b} f(x) dx \le M

もう一度、ff[a,b][a,b]で連続であるため、中間値の定理によれば、mmMMの間に、1baabf(x)dx\displaystyle {{1}\over {b-a} } \int_{a}^{b} f(x) dxに対してf(c)=1baabf(x)dxf(c) = \displaystyle {{1}\over {b-a} } \int_{a}^{b} f(x) dxを満たすccaabbの間に少なくとも一つ存在する。

同様に、重みwwに対して一般化することができる。上で紹介された形式はw(x)=1w(x) = 1の場合であり、abdx=ba\displaystyle \int_{a}^{b} dx = b - aとなり、以下の定理によくカバーされている。

従論

閉区間[a,b][a,b]関数ffが連続であり、w(x)0w(x) \ge 0が積分可能である場合、abf(x)w(x)dx=f(ξ)abw(x)dx\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) w(x) dx = f( \xi ) \int_{a}^{b} w(x) dxを満たすξ\xi(a,b)(a,b)に少なくとも一つ存在する。

参考