📂複素解析

複素経路積分の収縮補題

定理 ¹

単純閉曲線 $\mathscr{C}$ を含む単連結領域で、$f: A \subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ が $\mathscr{C}$ 内部の点 $\alpha$ を除くすべての点で解析的であるとする。 その場合、$\mathscr{C}$ 内部で、$\alpha$ を中心とする閉曲線　$\mathscr{C} '$ について $$\int_{\mathscr{C}} f(z) dz = \int_{\mathscr{C} '} f(z) dz$$

説明

言葉は長いけど、結局のところ、閉曲線で複素積分をするときに、ある点を中心にその閉曲線を収縮させることができるということだ。

積分区間をこれほど自由に変えられるなんて、実数では想像もできないことだ。 注意点は、$\alpha$ で必ずしも微分不可能である必要はないということだ。 そして、証明過程を見ればわかるが、$\mathscr{C} '$が必ず円である必要はない。

証明

$$\displaystyle \int_{\Gamma_{1} } f(z) dz + \int_{\Gamma_{2} } f(z) dz = \int_{\mathscr{C}} f(z) dz - \int_{\mathscr{C} '} f(z) dz$$

コーシー・グールサの定理によると、単連結領域 $\mathscr{R}$で $f$ が解析的であれば、$\mathscr{R}$ の内部の単純閉曲線 ${\Gamma}$ に対して $$\int_{{\Gamma}} f(z) dz = 0$$

コーシー・グールサの定理により、$\displaystyle \int_{\Gamma_{1} } f(z) dz = 0$ そして $\displaystyle \int_{\Gamma_{2} } f(z) dz =0$ である。したがって、 $$\int_{\mathscr{C}} f(z) dz = \int_{\mathscr{C} '} f(z) dz$$

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一般化

分割に関する一般化された収縮助定理：単連結領域で、単純閉曲線 $\mathscr{C}$を含み、$\mathscr{C}$内部で有限な点 $\alpha_{1} , \alpha_{2}, \cdots \alpha_{n}$ を除くすべての点で解析的とする場合、$\mathscr{C}$内部で、$\alpha_{k}$ を中心とする円 $\mathscr{C_k}$ について $$\int_{\mathscr{C}} f(z) dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{\mathscr{C}_{k}} f(z) dz$$

経路を分割するアイディアをもう少し適用してみれば、自然に一般化された定理を得ることができる。