📂確率分布論

ポアソン分布の極限分布としての標準正規分布の導出

定理

$X_{n} \sim \text{Poi} \left( n \right)$ かつ $\displaystyle Y_{n} := {{ X_{n} - n } \over { \sqrt{n} }}$ ならば $$Y_{n} \overset{D}{\to} N(0,1)$$

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• $N \left( \mu , \sigma^{2} \right)$ は平均が $\mu$ で分散が $\sigma^{2}$ の正規分布だ。
• $\text{Poi} (\lambda)$ は平均と分散が $\lambda$ のポアソン分布だ。

説明

二項分布のポアソン分布近似を考えると当然のように、ポアソン分布から標準正規分布も導出できる。

導出¹

$Y_{n}$ のモーメント生成関数 $M_{Y_{n}} (t)$ を通して分布収束を示す。

ポアソン分布のモーメント生成関数: $$m(t) = \exp \left[ \lambda \left( e^{t} - 1 \right) \right] \qquad , t \in \mathbb{R}$$

$X_{n} \sim \text{Poi} (n)$ なので、 $$\begin{align*} M_Y (t) =& E \left[ \text{exp} \left( Y_{n} t \right) \right] \\ =& E \left[ \text{exp} \left( {{ X_{n} - n } \over { \sqrt{n} }} t \right) \right] \\ =& E \left[ \text{exp} \left( {{ X_{n} } \over { \sqrt{n} }} t \right) \text{exp} ( -t \sqrt{n} ) \right] \\ =& \text{exp} ( -t \sqrt{n} ) E \left[ \text{exp} \left( X_{n} {{ t } \over { \sqrt{n} }} \right) \right] \\ =& \text{exp} ( -t \sqrt{n} ) \exp \left( n \left( e^{t/\sqrt{n}} - 1 \right) \right) \end{align*}$$ 二番目の引数のテイラー展開を通じて、 $$\begin{align*} & \text{exp} \left( -t \sqrt{n} + n \left( 1 + {{t} \over {\sqrt{n}}} + {{1} \over {2!}} {{t^2} \over {n}} + {{1} \over {3!}} {{t^3} \over {n \sqrt{n} }} + \cdots - 1 \right) \right) \\ =& \text{exp} \left( -t \sqrt{n} + n \left( {{t} \over {\sqrt{n}}} + {{1} \over {2!}} {{t^2} \over {n}} + {{1} \over {3!}} {{t^3} \over {n \sqrt{n} }} + \cdots \right) \right) \\ =& \text{exp} \left( -t \sqrt{n} + t \sqrt{n} + {{t^2} \over {2!}} + {{1} \over {3!}} {{t^3} \over { \sqrt{n} }} + \cdots \right) \\ =& \text{exp} \left( {{t^2} \over {2!}} + {{1} \over {3!}} {{t^3} \over { \sqrt{n} }} + \cdots \right) \end{align*}$$ 従って、 $$\lim_{n \to \infty} M_{Y_{n}} = e^{ t^2 \over 2 }$$

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