📂解析学

解析学において厳密に定義される左極限と右極限

定義

• 距離空間 $X$で定義された関数 $f :X \to \mathbb{R}$が与えられたとする。もし $f$が $x\in X$で連続ではない場合、$f$は $x$で不連続だと言ったり、$x$で不連続性を持つと言う。

$f: (a,b) \to \mathbb{R}$とする。

• 任意の点 $x$に対して、$a \le x <b$とする。$\left\{ t_{n} \right\}$を $x$に収束する$(x,b)$の点の数列とする。もし全ての$\left\{ t_{n} \right\}$に対して $$\lim \limits_{n \to \infty}f(t_{n})=q$$ が成り立つなら、$f(x+)=q$と記し、$q$を**$x$での $f$の右極限**^{right-hand-limit}と呼ぶ。

• 任意の点 $x$に対して、$a< x \le b$とする。$\left\{ t_{n} \right\}$を $x$に収束する$(a,x)$の点の数列とする。もし全ての$\left\{ t_{n} \right\}$に対して $$\lim \limits_{n\to\infty} f(t_{n})=q$$ が成り立つなら、$f(x-)=q$と記し、$q$を**$x$での $f$の左極限**^{left-hand-limit}と呼ぶ。

説明

不連続性について詳しく話すために、上記のように左極限、右極限という概念を定義する。左極限、右極限は不連続点だけでなく、任意の点に対して定義され得ることに注意が必要だ。

解析学の言葉で厳密に定義しただけで、概念自体は高校で学んだ左極限、右極限と変わらない。$x$より大きい点だけからなる$x$に収束する数列で、関数値の数列が収束する場合、それを右極限、反対の場合を左極限と呼ぼうという話だ。上の定義によると、以下の事実が成立することが自明であると分かる。高校では、以下の命題が連続の定義だった。

定理

任意の点 $x\in (a,b)$に対して、極限 $\lim \limits_{t \to x}f(t)$が存在することは、

$$f(x+)=f(x-)=\lim \limits_{t\to x }f(t)$$

が成立することと同値である。