結合振動
単純な結合振動
二つの物体$m_{1}$と$m_{2}$が上の図に示すように二つのバネでつながっているとする。そして、物体$m_{1}$が平衡点からの距離を$x_{1}$、物体$m_{2}$が平衡点からの距離を$x_{2}$とする。バネが物体に及ぼす復元力は、バネ定数とバネが伸びた（または縮んだ）長さの積であるため、バネ1が物体1に及ぼす力は$-k_{1}x_{1}$である。バネ2は縮んだ分だけ物体1を左に押し出すため、バネ2が物体1に及ぼす力は$-k_{2}(x_{1}-x_{2})$である。したがって、物体1の運動方程式は以下のようになる。
$$ \begin{align*} && m_{1}\ddot{x_{1}} &=-k_{1}x_{1}-k_{2}(x_{1}-x_{2}) \\ \implies && \ddot{x_{1}}+ \frac{k_{1}+k_{2}}{m_{1}}x_{1}-\frac{k_{2}}{m_{1}}x_{2}&=0 \end{align*} $$
物体2は、バネ2が伸びた分だけ左に引っ張られるため、バネ2が物体2に及ぼす力は$-k_{2}(x_{2}-x_{1})$である。したがって、物体2の運動方程式は次のようになる。
$$ \begin{align*} && m_{2}\ddot{x_{2}} &= -k_{2}(x_{2}-x_{1}) \\ \implies && \ddot{x_{2}}+\frac{k_{2}}{m_{2}}x_{2}-\frac{k_{2}}{m_{2}}x_{1} &=0 \end{align*} $$
したがって、上の図のようなシステムの運動方程式は、次のような連立微分方程式で表される。
$$ \left\{ \begin{align*} \ddot{x_{1}}+ \frac{k_{1}+k_{2}}{m_{1}}x_{1}-\frac{k_{2}}{m_{1}}x_{2}&=0 \\ \ddot{x_{2}}+\frac{k_{2}}{m_{2}}x_{2}-\frac{k_{2}}{m_{2}}x_{1} &=0 \end{align*} \right. $$
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バネが3つの結合振動
物体$m_{1}$には、バネ1とバネ2が力を加える。前述の計算から、その力はそれぞれ$-k_{1}x_{1}$、$-k_{2}(x_{1}-x_{2})$である。したがって、物体1の運動方程式は同じである。
$$ \ddot{x_{1}}+ \frac{k_{1}+k_{2}}{m_{1}}x_{1}-\frac{k_{2}}{m_{1}}x_{2}=0 $$
物体$m_{2}$には、バネ2とバネ3が力を加える。その力はそれぞれ$-k_{2}(x_{2}-x_{1})$、$-k_{3}x_{2}$である。したがって、物体2の運動方程式は次のようになる。
$$ \begin{align*} && m_{2}\ddot{x_{2}} &= -k_{2}(x_{2}-x_{1})-k_{3}x_{2} \\ \implies && \ddot{x_{2}}+\frac{k_{2}+k_{3}}{m_{2}}x_{2}-\frac{k_{2}}{m_{2}}x_{1} &=0 \end{align*} $$
システム全体の運動方程式は、以下のような連立微分方程式で表される。
$$ \left\{ \begin{align*} \ddot{x_{1}}+ \frac{k_{1}+k_{2}}{m_{1}}x_{1}-\frac{k_{2}}{m_{1}}x_{2}&=0 \\ \ddot{x_{2}}+\frac{k_{2}+k_{3}}{m_{2}}x_{2}-\frac{k_{2}}{m_{2}}x_{1} &=0 \end{align*} \right. $$
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