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結合振動 📂古典力学

結合振動

単純な結合振動

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二つの物体m1m_{1}とm2m_{2}が上の図に示すように二つのバネでつながっているとする。そして、物体m1m_{1}が平衡点からの距離をx1x_{1}、物体m2m_{2}が平衡点からの距離をx2x_{2}とする。バネが物体に及ぼす復元力は、バネ定数とバネが伸びた（または縮んだ）長さの積であるため、バネ1が物体1に及ぼす力は−k1x1-k_{1}x_{1}である。バネ2は縮んだ分だけ物体1を左に押し出すため、バネ2が物体1に及ぼす力は−k2(x1−x2)-k_{2}(x_{1}-x_{2})である。したがって、物体1の運動方程式は以下のようになる。

m1x1¨=−k1x1−k2(x1−x2)  ⟹  x1¨+k1+k2m1x1−k2m1x2=0 \begin{align*} && m_{1}\ddot{x_{1}} &=-k_{1}x_{1}-k_{2}(x_{1}-x_{2}) \\ \implies && \ddot{x_{1}}+ \frac{k_{1}+k_{2}}{m_{1}}x_{1}-\frac{k_{2}}{m_{1}}x_{2}&=0 \end{align*}

物体2は、バネ2が伸びた分だけ左に引っ張られるため、バネ2が物体2に及ぼす力は−k2(x2−x1)-k_{2}(x_{2}-x_{1})である。したがって、物体2の運動方程式は次のようになる。

m2x2¨=−k2(x2−x1)  ⟹  x2¨+k2m2x2−k2m2x1=0 \begin{align*} && m_{2}\ddot{x_{2}} &= -k_{2}(x_{2}-x_{1}) \\ \implies && \ddot{x_{2}}+\frac{k_{2}}{m_{2}}x_{2}-\frac{k_{2}}{m_{2}}x_{1} &=0 \end{align*}

したがって、上の図のようなシステムの運動方程式は、次のような連立微分方程式で表される。

{x1¨+k1+k2m1x1−k2m1x2=0x2¨+k2m2x2−k2m2x1=0 \left\{ \begin{align*} \ddot{x_{1}}+ \frac{k_{1}+k_{2}}{m_{1}}x_{1}-\frac{k_{2}}{m_{1}}x_{2}&=0 \\ \ddot{x_{2}}+\frac{k_{2}}{m_{2}}x_{2}-\frac{k_{2}}{m_{2}}x_{1} &=0 \end{align*} \right.

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バネが3つの結合振動

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物体m1m_{1}には、バネ1とバネ2が力を加える。前述の計算から、その力はそれぞれ−k1x1-k_{1}x_{1}、−k2(x1−x2)-k_{2}(x_{1}-x_{2})である。したがって、物体1の運動方程式は同じである。

x1¨+k1+k2m1x1−k2m1x2=0 \ddot{x_{1}}+ \frac{k_{1}+k_{2}}{m_{1}}x_{1}-\frac{k_{2}}{m_{1}}x_{2}=0

物体m2m_{2}には、バネ2とバネ3が力を加える。その力はそれぞれ−k2(x2−x1)-k_{2}(x_{2}-x_{1})、−k3x2-k_{3}x_{2}である。したがって、物体2の運動方程式は次のようになる。

m2x2¨=−k2(x2−x1)−k3x2  ⟹  x2¨+k2+k3m2x2−k2m2x1=0 \begin{align*} && m_{2}\ddot{x_{2}} &= -k_{2}(x_{2}-x_{1})-k_{3}x_{2} \\ \implies && \ddot{x_{2}}+\frac{k_{2}+k_{3}}{m_{2}}x_{2}-\frac{k_{2}}{m_{2}}x_{1} &=0 \end{align*}

システム全体の運動方程式は、以下のような連立微分方程式で表される。

{x1¨+k1+k2m1x1−k2m1x2=0x2¨+k2+k3m2x2−k2m2x1=0 \left\{ \begin{align*} \ddot{x_{1}}+ \frac{k_{1}+k_{2}}{m_{1}}x_{1}-\frac{k_{2}}{m_{1}}x_{2}&=0 \\ \ddot{x_{2}}+\frac{k_{2}+k_{3}}{m_{2}}x_{2}-\frac{k_{2}}{m_{2}}x_{1} &=0 \end{align*} \right.

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参照