極限比較判定法
📂微分積分学極限比較判定法
定理
二つの級数 ∑anと∑bnについて、an,bn>0とする。もし正の数c>0が存在して
n→∞limbnan=c
が成り立つなら、二つの級数はどちらも収束するか、どちらも発散する。
説明
これは極限比較判定法the limit comparison testと言う。比較判定法は直感的で有用だが、収束する数列より各項が小さい級数の収束性しか判定できない。例えば、∑2n1はr=21である幾何級数なので収束し、比較判定法から∑2n+11も収束することがわかる。しかし、級数∑2n−11は収束するが2n−11>2n1なので、比較判定法ではわからない。極限比較判定法はこうした場合に役立つ。
証明
mとMがm<c<Mを満たす正の数とする。n→∞limbnan=cなので十分に大きいNに対して次が成り立つ。
m<bnan<M∀n≥N
⟹m⋅bn<an<M⋅bn∀n≥N
もし∑bnが収束するなら、∑M⋅bnも収束し、比較判定法により∑anも収束する。逆に∑bnが発散するなら、∑m⋅bnも発散し、比較判定法により∑anも発散する。
同じ論理で∑anが収束するなら∑bnも収束し、∑anが発散するなら∑bnも発散する。
■