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極限比較判定法 📂微分積分学

極限比較判定法

定理1

二つの級数 an\sum a_{n}bn\sum b_{n}について、an,bn>0a_{n}, b_{n} \gt 0とする。もし正の数c>0c \gt 0が存在して

limnanbn=c \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{a_{n}}{b_{n}} = c

が成り立つなら、二つの級数はどちらも収束するか、どちらも発散する。

説明

これは極限比較判定法the limit comparison testと言う。比較判定法は直感的で有用だが、収束する数列より各項が小さい級数の収束性しか判定できない。例えば、12n\sum \dfrac{1}{2^{n}}r=12r = \dfrac{1}{2}である幾何級数なので収束し、比較判定法から12n+1\sum \dfrac{1}{2^{n} + 1}も収束することがわかる。しかし、級数12n1\sum \dfrac{1}{2^{n} - 1}は収束するが12n1>12n\dfrac{1}{2^{n} - 1} \gt \dfrac{1}{2^{n}}なので、比較判定法ではわからない。極限比較判定法はこうした場合に役立つ。

証明

mmMMm<c<Mm \lt c \lt Mを満たす正の数とする。limnanbn=c\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{a_{n}}{b_{n}} = cなので十分に大きいNNに対して次が成り立つ。

m<anbn<MnN m \lt \dfrac{a_{n}}{b_{n}} \lt M \qquad \forall n \ge N

    mbn<an<MbnnN \implies m \cdot b_{n} \lt a_{n} \lt M \cdot b_{n} \qquad \forall n \ge N

もしbn\sum b_{n}が収束するなら、Mbn\sum M \cdot b_{n}も収束し、比較判定法によりan\sum a_{n}も収束する。逆にbn\sum b_{n}が発散するなら、mbn\sum m \cdot b_{n}も発散し、比較判定法によりan\sum a_{n}も発散する。

同じ論理でan\sum a_{n}が収束するならbn\sum b_{n}も収束し、an\sum a_{n}が発散するならbn\sum b_{n}も発散する。


  1. James Stewart, Daniel Clegg, and Saleem Watson, Calculus (early transcendentals, 9E), p762 ↩︎