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楕円 📂幾何学

楕円

定義

平面上で二つの固定された点FF、F′F^{\prime}への距離の合計が一定である点の集合を楕円ellipseという。

5F1FA5DC1.png

楕円の要素は以下の通り。

  • FF、F′F^{\prime}を焦点という。

  • aaを長半軸、bbを短半軸という。b=1−ϵ2ab=\sqrt{1-\epsilon^{2}}aが成立する。

  • ϵ\epsilonを楕円の離心率という。楕円がどれだけ圧縮されているかを示し、焦点は楕円の中心からϵa\epsilon aだけ離れている。kkあるいはeeとして表記されることもある。

    ϵ2=k2=e2={a2−b2a2,0<b<ab2−a2b2,0<a<b \epsilon^{2}=k^{2}=e^{2} =\begin{cases} \frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}} ,&0<b<a \\ \frac{b^{2}-a^{2}}{b^{2}}, &0<a<b \end{cases}

  • 長半軸に垂直に引かれた線が楕円と交わる点から焦点までの距離α\alphaを通径という。α=(1−ϵ2)a\alpha = (1-\epsilon^{2})aが成立する。

  • r0r_{0}は焦点から近点までの距離で、r0=(1−ϵ)ar_{0}=(1-\epsilon)aが成立する。

  • r1r_{1}は焦点から遠点までの距離であり、$apocenter까지의 거리이며 、、가 성립한다.

설명

두 초점이 같으면 원이기 때문에, 보통 타원이라고 하면 두 초점이 서로 다르다는 것을 의미한다.

판별법

주어진 이차곡선 、、에 대해서 、、를 판별식discriminant이라 한다. 판별식이 음수인 이차곡선은 타원이다.

타원의 방정식

타원의 중심이 、、이고 장반경이 、、, 단반경이 、、인 타원의 방정식은 아래와 같다.

(x−x0)2a2+(y−y0)2b2=1 \frac{(x-x_{0})^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-y_{0})^{2}}{b^{2}}=1

극 좌표에서 초점이 원점인 타원의 방정식

2.png

극 좌표계에서 타원의 방정식은 아래와 같다.

r=α1+ϵcos⁡θ r = \frac{\alpha}{1+\epsilon \cos \theta}

혹은

r=b2/a1+a2−b2acos⁡θ r = \frac{b^{2}/a}{1+\frac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a}\cos\theta}

타원의 넓이

장반경이 、、, 단반경이 、、인 타원의 넓이 、、는 아래와 같다.

A=abπ A=ab\pi

타원의 둘레

2.png

위 그림과 같은 타원의 둘레는 아래와 같다.

4b∫0π21−k2sin⁡2θdθ,k2=b2−a2b2 4b\int _{0} ^{{\textstyle \frac{\pi}{2}}} \sqrt{ 1-k^{2}\sin^{2} \theta } d\theta ,\quad k^{2}=\frac{b^{2}-a^{2} }{b^{2}}

제2 종 타원 적분

아래의 적분을 각각 제2종 완전 타원 적분, 제2종 불완전 타원 적분 이라고 한다.

E(k)=∫0π21−k2sin⁡2θdθ E(k)=\int_{0}^{{\textstyle \frac{\pi}{2}}}\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} \theta} d\theta

E(ϕ,k)=∫0ϕ1−k2sin⁡2θdθ E(\phi, k)=\int_{0}^{\phi}\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} \theta}d\theta

타원의 일반화, 일립소이드

선형 변환 、、에 대해 、、차원 단위구 、、 의 이미지 、、 을 일립소이드ellipsoid라고 한다. 、、의 고유값 、、와 그에 따른 단위 고유벡터 $が示されている。楕円体の軸はu1,⋯ ,umu_{1} , \cdots , u_{m}が에대해에 대해 を満たすよう表記される。