ポアソン和公式の導出
式
$f : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ をシュワルツ関数とする。すると、 $$ \sum_{n \in \mathbb{Z}} f(n) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \widehat{f}(k) $$
- シュワルツ関数 $f \in C^{\infty}(\mathbb{R})$ は、$x \to \pm \infty$ の時、関数値の大きさ $\left| f (x) \right|$ が速く $0$ に収束する関数のことを言う。
- $f$ と $\gamma \in \mathbb{R}$ において、$\widehat{f}(\gamma)$ は次の フーリエ変換を表す： $$ \widehat{f} ( \gamma ) = \int_{\mathbb{R}} f(x) e^{-2 \pi i \gamma x} dx $$
証明1
$$ F(x) := \sum_{n \in \mathbb{Z}} f ( x + n ) $$ とすると、$F$ は $1$-周期的であり、次のようにフーリエ係数 $\widehat{F}_{k}$ を計算できる： $$ \begin{align*} \widehat{F}_{k} &= \int_{0}^{1} \sum_{n \in \mathbb{Z}} f(x+n) e^{-2\pi i k z } dx \\ =& \sum_{n \in \mathbb{Z}} \int_{0}^{1} f(x+n) e^{-2\pi i k z } dx \\ =& \sum_{n \in \mathbb{Z}} \int_{n}^{n+1} f(x) e^{-2\pi i k z } dx \\ =& \int_{\mathbb{R}} f(x) e^{-2\pi i k z } dx \\ =& \widehat{f} (k) \end{align*} $$ それにより、$F$ のフーリエ展開に従って、 $$ \sum_{n \in \mathbb{Z}} f(x+n) = F(x) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \widehat{F}_{k} e^{i k x } = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \widehat{f} (k) e^{i k x} $$ $x = 0$ を代入すると、次を得る: $$ \sum_{n \in \mathbb{Z}} f(n) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \widehat{f}(k) $$
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