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カントール-ベルンシュタインの定理の証明 📂集合論

カントール-ベルンシュタインの定理の証明

定理 1

集合AABBについて、AABB部分集合と同値で、BBAAの部分集合と同値であれば、AABBは同値である。


  • 二つの集合が同値であることは、両集合間に全単射が存在することを意味する。

証明

戦略:xxに関数ffkk回適用するのをfk(x)f^{k}(x)のように表現しようとする。そうすれば、全てのkNk \in \mathbb{N}に対してfk(x)=f(fk1(x))f^{k}(x) = f \left( f^{k-1}(x) \right)のように表現できるだろう。この視点から、f0f^{0}は関数ffを全く適用しない関数、言わば恒等関数と考えることができる。

まず、集合AAの部分集合BBに対して、単射f:ABf: A \to Bが存在する場合は、全単射h:ABh : A \to Bも存在することを示そうとする。もしB=AB=Aであれば、何らかの単射ff恒等関数h:=f0h:=f^{0}を持つので、これ以上示すことはないので、BAB \subsetneq Aの場合だけ考えればいい。


Part 1. nmn \ne mならばfn(AB)fm(AB)=f^{n}(A \setminus B) \cap f^{m}(A \setminus B) = \emptyset

m<nm < nの時にfn(AB)fm(AB)f^{n}(A \setminus B) \cap f^{m}(A \setminus B) \ne \emptysetが成り立つと仮定してみよう。これはすなわち、何かx1,x2(AB)x_{1}, x_{2} \in (A \setminus B)が存在してfn(x1)=fm(x2)f^{n}(x_{1}) = f^{m}(x_{2})を満たすことを意味する。そこで fnm(x1)=fmm(x2)=f0(x2)=x2 \begin{align*} f^{n-m}(x_{1}) =& f^{m-m}(x_{2}) \\ =& f^{0}(x_{2}) \\ =& x_{2} \end{align*} ここで、f0(x2)Bf^{0}(x_{2}) \in Bとはx2Bx_{2} \in Bを意味する。しかし、これはx2(AB)x_{2} \in (A \setminus B)に矛盾する。同様の方法で、m>nm > nの時にもfn(AB)fm(AB)f^{n}(A \setminus B) \cap f^{m}(A \setminus B) \ne \emptysetが成立することを示すことができる。


Part 2. h(A)=Bh(A) = B

集合CCを以下のように定義しよう。 C:=n0fn(AB)h(z):={f(z),zCz,zAC \begin{align*} C:=& \bigcup_{n \ge 0} f^{n} (A \setminus B) \\ h(z):=& \begin{cases} f(z) & , z \in C \\ z &,z \in A\setminus C\end{cases} \end{align*} CCzAz \in Aに対して関数hhを上記のように定義すると、ABCA \setminus B \subset Cかつ、f(C)Cf (C) \subset Cである。関数の像に関する和集合の性質により h(A)=(AC)f(C)=[An0fn(AB)]f(n0fn(AB))=[A(n0fn(AB))c]n1fn(AB)=[An1fn(AB)][(n0fn(AB))cn1fn(AB)]=A[n0fn(AB)(n1fn(AB))c]c=A[f0(AB)]c=A(AB)c=A(AB)=B \begin{align*} h(A) =& (A\setminus C) \cup f (C) \\ =& \left[ A \setminus \bigcup_{n \ge 0} f^{n} (A \setminus B) \right] \cup f \left( \bigcup_{n \ge 0} f^{n} (A \setminus B) \right) \\ =& \left[ A \cap \left( \bigcup_{n \ge 0} f^{n} (A \setminus B) \right)^{c} \right] \cup \bigcup_{n \ge 1} f^{n} (A \setminus B) \\ =& \left[ A \cup \bigcup_{n \ge 1} f^{n} (A \setminus B) \right] \cap \left[ \left( \bigcup_{n \ge 0} f^{n} (A \setminus B) \right)^{c} \cup \bigcup_{n \ge 1} f^{n} (A \setminus B) \right] \\ =& A \cap \left[ \bigcup_{n \ge 0} f^{n} (A \setminus B) \cap \left( \bigcup_{n \ge 1} f^{n} (A \setminus B) \right)^{c} \right]^{c} \\ =& A \cap \left[ f^{0}(A \setminus B) \right]^{c} \\ =& A \cap ( A \setminus B)^{c} \\ =& A \setminus (A \setminus B) \\ =& B \end{align*} つまり、h(A)=Bh(A) = Bであり、hhは全射である。ここで、ffは単射なので、hhも単射になり、結果として全単射である。


Part 3. hhは全単射である

A0AB0B A_{0} \subset A \\ B_{0} \subset B 定理の前提によると、二つの全単射f0:AB0f_{0} : A \to B_{0}g0:BA0g_{0} : B \to A_{0}が存在すると、f(x)=g0(f0(x))f(x) = g_{0} \left( f_{0} (x) \right)として定義された関数ffは単射である。Part 1と2に従えば、全単射h:AA0h : A \to A_{0}が存在する。したがって、g01h:ABg_{0}^{-1} \circ h : A \to Bは全単射である。従って、AABBは同値である。


  1. 이흥천 역, You-Feng Lin. (2011). 집합론(Set Theory: An Intuitive Approach): p245. ↩︎