📂統計的分析

時系列分析における価値モデル

モデル ¹

価値モデルは、ARCHモデルを一般化したもので、時系列分析法で異分散を検知するために用いられる。 $$(1 - \beta{1} B - \cdots - \beta_{p} B^p) \sigma_{t | t-1}^2 = \omega + (\alpha_{1} B + \cdots + \alpha_{q} B^q) r_{t}^{2}$$

導出

最も単純な$ARCH(1)$モデルから始めてみることにしよう。

² 時系列データ$\left\{ p_{t} \right\}$のリターン$\left\{ r_{t} \right\}$が与えられたとし、ラグ$1$のARCH効果、つまり自己回帰条件付き異分散性を持っているとは、次のように数式で表現できる。 $$r_{t} = \sigma_{t | t-1} \varepsilon_{t}$$

$$\begin{align} \sigma_{t | t-1}^2 = \omega + \alpha r_{t-1}^{2} \end{align}$$ ここで、$\alpha$と$\omega$はまだ未知の係数で、$\varepsilon_{t}$は平均が$0$、分散が$1$であると仮定されるiidプロセスイノベーション〈イノベーション〉であり、特に白色雑音である必要はない。$\sigma_{t | t-1}^2$は条件付きボラティリティと呼ばれ、以下の数式展開に従い、リターンの二乗$r_{t}^2$は$\sigma_{t | t-1}^2$の不偏推定量になる。 $$\begin{align*} E \left( r_{t}^2 | r_{t-j} , j = 1,2, \cdots \right) =& E \left( \sigma_{t | t-1}^2 \varepsilon_{t}^2 | r_{t-j} , j = 1,2, \cdots \right) \\ =& \sigma_{t | t-1}^2 E \left( \varepsilon_{t}^2 | r_{t-j} , j = 1,2, \cdots \right) \\ =& \sigma_{t | t-1}^2 E \left( \varepsilon_{t}^2 \right) \\ =& \sigma_{t | t-1}^2 \end{align*}$$ $r_{t}^{2}$が$\sigma_{t | t-1}^2$の不偏推定量であるとは、$\eta_{t} := r_{t}^{2} - \sigma_{t | t-1}^2$とし、$(1)$に$\eta_{t}$を代入することで、$\left\{ r_{t}^{2} \right\}$に対する自己相関モデル$AR(1)$を得られるという意味である。 $$\left( r_{t}^{2} \right) = \omega + \alpha \left( r_{t-1}^{2} \right) + \eta_{t}$$ $r_{t}$がある一定の母集団分散$\sigma^2$を持つと仮定し、両辺の期待値を取ると $$\begin{align} \sigma^2 = \omega + \alpha \sigma^2 \end{align}$$ を得る。ここで突然$\sigma$が出てきて混乱しないように、添字のない$\sigma$は、元の時系列データ$p_{t}$の母集団分散ではなく、そのリターンである$r_{t}$の母集団分散であることに注意しなければならない。$E (r_{t}) = E (\sigma_{t | t-1} \varepsilon_{t} ) = 0$であるため、 $$\begin{align*} \sigma =& \text{var} (r_{t}) \\ =& E(r_{t}^{2}) - E(r_{t})^2 \\ =& E(r_{t}^{2}) \end{align*}$$ と計算されるものである。少なくとも$ARCH(1)$モデルでは、$p_{t}$が異分散性を持っているのは明らかである。$(2)$によれば、$\displaystyle \omega = \sigma^2 \left( 1 - \alpha \right)$であるため、$\sigma_{t | t-1}^2$について$(1)$を詳しく見ると、 $$\begin{align*} \sigma_{t | t-1}^2 =& \omega + \sigma r_{t}^{2} \\ =& (1 - \alpha) \sigma^2 + \alpha r_{t}^{2} \end{align*}$$ つまり、$\sigma_{t | t-1}^2$は$\sigma^2$と$r_{t}$の加重平均として現れ、$\alpha$が$1$に近ければ近いほど前のリターン$r_{t}$の影響を強く受け、$0$に近づくほどARCH効果がないことを意味する。そうであれば、分析は$\omega$に目を向けず、結局、$AR(1)$モデルで係数$\sigma$を推定する問題に帰着する。つまり、ARMAモデルの再来というわけだ。

一般化

ARCHモデルの一般化も同じ手順で行えばよい。 $$\sigma_{t | t-1}^2 = \omega + \beta_{1} \sigma_{t-1| t-2}^2 + \cdots + \beta_{p}\sigma_{t -p | t-p-1}^2$$ 上記は$\sigma_{t | t-1}^2$の自己回帰モデル$AR(p)$になるだろうし、 $$\sigma_{t | t-1}^2 = \omega + \alpha_{1} r_{t-1}^2 + \cdots + \alpha_{q} r_{t-q}^2$$ 上記は$\sigma_{t | t-1}^2$の移動平均モデル$MA(q)$になる。このようにして、$\sigma_{t | t-1}^2$に対するARMAモデル$ARMA(p,q)$を一般化されたARCHモデル$GARCH(p,q)$と呼ぶことができるだろう。バックシフトオペレーター$B$を使用すると、以下のような単純な式を得ることができる。 $$(1 - \beta{1} B - \cdots - \beta_{p} B^p) \sigma_{t | t-1}^2 = \omega + (\alpha_{1} B + \cdots + \alpha_{q} B^q) r_{t}^{2}$$ 概念的に価値モデルがARMAモデルと異ならない場合、その次数$p,q$を見つける方法も同じであり、同様にEACFを使用した方法をそのまま使うことができる。

一方、ボラティリティクラスタリングをもう少し洗練された方法で定義することができるようになる。「分散が大きくなったり小さくなったりする現象」という曖昧な説明ではなく、「データが高次の価値モデルに従う場合、ボラティリティクラスタリングが存在する」と言えるようになるのだ。

関連項目

• Rで価値モデルを分析する方法