時系列分析におけるGARCHモデル
モデル1
GARCHモデルはARCHモデルを一般化したもので、分散不均一性を把握するための時系列分析法である。 $$ (1 - \beta{1} B - \cdots - \beta_{p} B^p) \sigma_{t | t-1}^2 = \omega + (\alpha_{1} B + \cdots + \alpha_{q} B^q) r_{t}^{2} $$
導出
導出は最も簡単な$ARCH(1)$モデルから始めてみよう。
2 時系列データ $\left\{ p_{t} \right\}$のリターン $\left\{ r_{t} \right\}$が与えられているとき、データがラグ$1$のARCHエフェクト、すなわち自己回帰条件付き分散不均一性を持つという言明は、次のように数式で表すことができる。 $$ r_{t} = \sigma_{t | t-1} \varepsilon_{t} $$
$$ \begin{align} \sigma_{t | t-1}^2 = \omega + \alpha r_{t-1}^{2} \end{align} $$ ここで$\alpha$と$\omega$はまだ分かっていない係数であり、$\varepsilon_{t}$は特に白色雑音と仮定される必要はなく、平均$0$、分散$1$と仮定されるiid プロセスのイノベーションinnovationである。$\sigma_{t | t-1}^2$は$p_{t}$の条件付きボラティリティconditional Volatilityと呼ばれ、次の数式展開によりリターンの二乗$r_{t}^2$は$\sigma_{t | t-1}^2$の不偏推定量となる。 $$ \begin{align*} E \left( r_{t}^2 | r_{t-j} , j = 1,2, \cdots \right) =& E \left( \sigma_{t | t-1}^2 \varepsilon_{t}^2 | r_{t-j} , j = 1,2, \cdots \right) \\ =& \sigma_{t | t-1}^2 E \left( \varepsilon_{t}^2 | r_{t-j} , j = 1,2, \cdots \right) \\ =& \sigma_{t | t-1}^2 E \left( \varepsilon_{t}^2 \right) \\ =& \sigma_{t | t-1}^2 \end{align*} $$ $r_{t}^{2}$が$\sigma_{t | t-1}^2$の不偏推定量であるということは、$\eta_{t} := r_{t}^{2} - \sigma_{t | t-1}^2$とおいたとき、$(1)$に$\eta_{t}$を代入することで$\left\{ r_{t}^{2} \right\}$に対する自己相関モデル $AR(1)$を得ることができるという意味である。 $$ \left( r_{t}^{2} \right) = \omega + \alpha \left( r_{t-1}^{2} \right) + \eta_{t} $$ ここで$r_{t}$がある定数の母分散 $\sigma^2$を持つと仮定し、両辺に期待値を取ると $$ \begin{align} \sigma^2 = \omega + \alpha \sigma^2 \end{align} $$ を得る。ここで急に$\sigma$が出てきたと混乱してはならないのは、添字のない$\sigma$は元の時系列データ$p_{t}$の母分散ではなく、そのリターンである$r_{t}$の母分散である。$E (r_{t}) = E (\sigma_{t | t-1} \varepsilon_{t} ) = 0$であるから $$ \begin{align*} \sigma =& \text{var} (r_{t}) \\ =& E(r_{t}^{2}) - E(r_{t})^2 \\ =& E(r_{t}^{2}) \end{align*} $$ のように計算されるのである。少なくとも$ARCH(1)$モデルにおいて$p_{t}$が分散不均一性を持つのは当然である。$(2)$によれば$\displaystyle \omega = \sigma^2 \left( 1 - \alpha \right)$であるから、$\sigma_{t | t-1}^2$について$(1)$を解きほぐしてみると $$ \begin{align*} \sigma_{t | t-1}^2 =& \omega + \sigma r_{t}^{2} \\ =& (1 - \alpha) \sigma^2 + \alpha r_{t}^{2} \end{align*} $$ つまり$\sigma_{t | t-1}^2$は$\sigma^2$と$r_{t}$の加重平均として表され、$\alpha$が$1$に近いほど直前のリターン$r_{t}$の影響を大きく受け、$0$に近いほどARCHエフェクトがないという意味になるだろう。であれば、分析は$\omega$を気にせず、結局$AR(1)$モデルで係数$\sigma$を推定する問題に帰着する。簡単に言えば、ARMAモデルの焼き直しなのである。
一般化
ARCHモデルの一般化も同じ手順で行えばよい。 $$ \sigma_{t | t-1}^2 = \omega + \beta_{1} \sigma_{t-1| t-2}^2 + \cdots + \beta_{p}\sigma_{t -p | t-p-1}^2 $$ 上は$\sigma_{t | t-1}^2$の自己回帰モデル $AR(p)$となり、 $$ \sigma_{t | t-1}^2 = \omega + \alpha_{1} r_{t-1}^2 + \cdots + \alpha_{q} r_{t-q}^2 $$ 上は$\sigma_{t | t-1}^2$の移動平均モデル $MA(q)$となるだろう。こうなると、$\sigma_{t | t-1}^2$に対するARMAモデル$ARMA(p,q)$を一般化ARCHモデル $GARCH(p,q)$と呼んでみることができるだろう。バックシフト演算子 $B$を用いると、より簡単な次の数式が得られる。 $$ (1 - \beta{1} B - \cdots - \beta_{p} B^p) \sigma_{t | t-1}^2 = \omega + (\alpha_{1} B + \cdots + \alpha_{q} B^q) r_{t}^{2} $$ 概念的にGARCHモデルがARMAモデルと変わりないのであれば、次数である$p,q$を見つける方法も変わりなく、同様にEACFを用いて見つける方法をそのまま使うことができる。
一方、今やボラティリティ・クラスタリングをもう少し洗練された形で定義できる。「分散が大きくなったり小さくなったりする現象」という曖昧な説明の代わりに、「データが大きな次数のGARCHモデルに従うとき、ボラティリティ・クラスタリングがあるという」と言えるのである。