連続だが微分不可能な関数：ワイエルシュトラス関数
定理
証明
戦略： 連続関数$g_{1} (x) := | x - 1 |$と$g_{2} (x) := | x - 2 |$を考える。$g_{1}$は$x=1$で、$g_{2}$は$x=2$で微分不可能である。$(g_{1} + g_{2})$は$x = 1$と$x = 2$の両点で微分不可能である。このように$\displaystyle G: = \sum_{k=1}^{\infty} g_{k}$を構成してみると、$G$は$x \in \mathbb{N}$で微分不可能になるだろう。もちろん、これはワイエルシュトラス関数と呼ぶにはあまりにも多くの場所で微分可能である。本当のワイエルシュトラス関数$F$は、微分不可能な点が急速に増加する$f_{k}$の和として作られる。
パート1. $F$の連続性
$$ f_{0} (x) := \begin{cases} x &, 0 \le x < {{ 1 } \over { 2 }} \\ 1 - x &, {{1} \over {2}} \le x < 1 \end{cases} $$
$$ f_{0} (x) := f_{0} (x + 1) $$
上のような周期関数$f_{0}$を定義し、次のように$f_{k}$、$F$を定義しよう。
$$ f_{k} (x) := {{ f_{0} ( 2_{k} x ) } \over { 2^{k} }} $$
$$ F (x) := \sum_{k=0}^{\infty} f_{k} (x) $$
$f_{k}$は上の図のように$\mathbb{R}$で連続である。
ワイエルシュトラスM判定法：関数列$\left\{ f_{n} \right\}$と$x \in E$について$|f_{n}(z)| \le M_{n}$を満たす正の数列$M_{n}$が存在し、$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} M_{n}$が収束する場合、$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}$は$E$で絶対収束し、一様収束する。
関数級数の性質：$E$が$\displaystyle F := \sum_{k=1}^{ \infty } f_{k}$で一様収束するとする。$f_{n}$が$x_{0} \in E$で連続ならば、$F$も$x_{0} \in E$で連続である。
$$ \begin{align*} M_{n} := {{ 1 } \over { 2^{n+1} }} \end{align*} $$
とすると
$$ | f_{n} (x) | \le M_{n} $$
$$ \sum_{n=0}^{\infty} M_{n} = 1 $$
それで、$F$は一様収束し、$F$は連続である。
パート2. $F$の微分不可能性
$F$は周期が$1$なので、$[ 0 , 1 )$でのみ微分不可能であることを示せば、$\mathbb{R}$で微分不可能であることになる。ある$x_{0} \in [0,1)$で$F$が微分可能だと仮定してみよう。
パート2-1. $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} c_{k}$の発散性
$$ \displaystyle \alpha_{n} := {{p} \over {2^{n} }} $$
$$ \displaystyle \beta_{n} := {{p+1} \over {2^{n} }} $$
このように設定すると、$n \in \mathbb{N}$に対して$x_{0} \in [ \alpha_{n} , \beta_{n} )$となるような$p \in \mathbb{Z}$を選ぶことができるだろう。$[ \alpha_{n} , \beta_{n} )$は長さが$\displaystyle {{1} \over {2^{n}}}$であり、次の図のように$x_{0}$を含むようにする$[0,1)$の$(p+1)$番目の区間である。
$n$が大きくなるたびに、$[ \alpha_{n} , \beta_{n} )$は半分ずつ減少し、そうすると
$$ [ \alpha_{n} , \beta_{n} ] \subseteq [ \alpha_{k+1} , \beta_{k+1} ] $$
である。一方$[ \alpha_{k+1} , \beta_{k+1} ]$で$f_{k}$は増加または減少するだけなので、それより小さいか同じ区間の$[ \alpha_{n} , \beta_{n} ]$でも増加または減少するだけである。したがって$c_{k}$を
$$ c_{k} := {{ f_{k} ( \beta_{n} ) - f_{k} ( \alpha_{n} ) } \over { \beta_{n} - \alpha_{n} }} $$
のように定義すると、$c_{k}$は$n$に関係なく$c_{k} = 1$または$c_{k} = -1$であるしかない。無限級数の性質により、$c_{k}$が収束しなければ、$\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} c_{k}$は発散しなければならない。これは$n \in \mathbb{N}$がどのように与えられても同様に示すことができるので、$n$にかかわらず、$\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} c_{k}$が収束しないと言える。
パート2-2. $\displaystyle F ' (x_{0}) = \sum_{k=0}^{\infty} c_{k}$
$F$が$x_{0}$で微分可能だと仮定され、$n \to \infty$のとき$[ \alpha_{n} , \beta_{n} ] \to [x_{0} , x_{0}]$であるから
$$ F ' (x_{0}) = \lim_{n \to \infty} {{ F ( \beta_{n} ) - F ( \alpha_{n} ) } \over { \beta_{n} - \alpha_{n} }} $$
一方で、$k \ge n$について$f_{k} ( \alpha_{n} ) = f_{k} ( \beta_{n} ) = 0$であるから
$$ F ( \alpha_{n} ) = \sum_{k=0}^{\infty} f_{k} ( \alpha_{n} ) = \sum_{k=0}^{n-1} f_{k} ( \alpha_{n} ) $$
$$ F ( \beta_{n} ) = \sum_{k=0}^{\infty} f_{k} ( \beta_{n} ) = \sum_{k=0}^{n-1} f_{k} ( \beta_{n} ) $$
のように$F$を有限級数で表すことができる。それで
$$ \begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty} c_{k} =& \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} c_{k} \\ =& \lim_{n \to \infty} {{ \sum_{k=0}^{n-1} f_{k} ( \beta_{n} ) - \sum_{k=0}^{n-1} f_{k} ( \alpha_{n} ) } \over { \beta_{n} - \alpha_{n} }} \\ =& \lim_{n \to \infty} {{ F ( \beta_{n} ) - F ( \alpha_{n} ) } \over { \beta_{n} - \alpha_{n} }} \\ =& F ' ( x_{0} ) \end{align*} $$
パート2-2では$\displaystyle F ' (x_{0}) = \sum_{k=0}^{\infty} c_{k}$だったが、パート2-1で$\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} c_{k}$が発散することが示されたので、仮定に矛盾する。
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