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数値的に不適切積分を計算するためのガウス求積法

定義 ¹

ガウス・チェビシェフ求積法

$$ \int_{-1}^{1} {{ 1 } \over { \sqrt{1 - x^2 } }} f(x) dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_{i} f( x_{i} ) $$ $$ w_{i} = {{ \pi } \over { n }} $$ ここで、$x_{i}$ は $T_{n}(x) = 0$ を満たすチェビシェフ・ノードだ。

ガウス・ラゲール求積法

$$ \int_{0}^{\infty} e^{-x} f(x) dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_{i} f( x_{i} ) $$ $$ w_{i} = {{ x_{i} } \over { (n+1)^2 \left[ L_{n+1} (x_{i} ) \right]^2 }} $$ ここで、$x_{i}$ は $L_{n}(x) = 0$ を満たすラゲール・ノードだ。

ガウス・エルミート求積法

$$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x) dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_{i} f( x_{i} ) $$ $$ w_{i} = {{ 2^{n-1} n! \sqrt{ \pi } } \over { n^2 \left[ H_{n-1} (x_{i} ) \right]^2 }} $$ ここで、$x_{i}$ は $H_{n} (x) = 0$ を満たすエルミート・ノードだ。

説明

ガウス求積法はそのもの自体で非常に優れているだけでなく、ノードを上手に選ぶことで、積分範囲が無限大であっても計算を実行できる。

不適切積分の場合、$f$ が $\displaystyle {{ 1 } \over { \sqrt{1-x^2} }}$、$e^{-x}$、$e^{-x^2}$ を含まなければ、以下のように $g$ を作るトリックを使えばいい。 $$ \begin{align*} \int_{0}^{\infty} f(x) dx =& \int_{0}^{\infty} f(x) e^{x} e^{-x} dx \\ =& \int_{0}^{\infty} g(x) e^{-x} dx \end{align*} $$ 一方で、ガウス・チェビシェフの求積法の動機を見てみよう。チェビシェフ・ノードは以下のように与えられる。 $$ x_{i} = \cos \left( {{ 2i-1 } \over { 2n }} \pi \right) $$ もちろん、これらのノードは離散的だが、連続的に見れば、以下のように変数代入として理解できる。 $$ \begin{align*} dx =& - \pi \sin \pi t dt \\ =& - \pi \sqrt{1 - x^2 } dt \end{align*} $$ このように代入積分をしてみると、 $$ \begin{align*} \int_{-1}^{1} {{ 1 } \over { \sqrt{1 - x^2 } }} f(x) dx =& - \pi \int_{1}^{0} {{ 1 } \over { \sqrt{1 - x^2 } }} f(x) \sqrt{1 - x^2 } dt \\ =& \pi \int_{0}^{1} f \left( \cos ( \pi t ) \right) dt \\ \approx & \pi {{ 1 } \over { n }} \sum_{i=1}^{n} f \left( \cos \left( {{ 2 i - 1 } \over { 2n }} \pi \right) \right) \end{align*} $$ もちろんこれは正確な導出ではなく、必ずしもガウス求積法と関連しているわけではない。上の式展開の目的は、特別なノードを選ぶアイデアが代入と似ているかもしれないという点を確認するためだけだ。