エルミート多項式
定義
確率論者のエルミート多項式
$$ H_{e_{n}} := (-1)^{n} e^{{x^2} \over {2}} {{d^{n}} \over {dx^{n}}} e^{- {{x^2} \over {2}}} $$
物理学者のエルミート多項式
$$ H_{n} := (-1)^{n} e^{x^2} {{d^{n}} \over {dx^{n}}} e^{-x^2} $$
基本的な性質
エルミート多項式は二つの形が使われ、$H_{n} (x) = 2^{{n} \over {2}} H_{e_{n}} \left( \sqrt{2} x \right)$の関係を持つ。
再帰公式
- [0]: $$H_{n+1} (x) = 2x H_{n} (x) - H_{n} ' (X)$$
直交集合
- [1] 関数の内積: $\displaystyle \left<f, g\right>:=\int_a^b f(x) g(x) w(x) dx$に対するウェイトを$w$として、$\displaystyle w(x) := e^{-x^2}$は直交集合になる。
説明
$n = 0, \cdots , 3$に対する物理学者のエルミート多項式は次のように表される。
$$ \begin{align*} H_{0} (x) =& 1 \\ H_{1} (x) =& 2x \\ H_{2} (x) =& 4 x^2 - 2 \\ H_{3} (x) =& 8 x^3 - 12x \end{align*} $$
確率論者のエルミート多項式はエルミート微分方程式$y’’ - x y ' + 2 n y = 0$の解としても定義される。
$H_{n} ( x_{k} ) = 0$を満たすエルミート・ノード$x_{k}$のクローズドフォームは残念ながら知られておらず、現在も数値計算で求められている。