📂レンマ

チェビシェフの不等式の証明

定理 ¹

確率変数$X$の分散$\sigma^2 < \infty$が存在すれば、$\mu := E(X)$とある正数$k>0$に対して $$ P(|X-\mu| \ge k\sigma) \le {1 \over k^2} $$

説明

比較的形が簡単で式の操作が容易なうえ、結果も一目でわかるため、補助定理として多く使われる。ただしマルコフの不等式と比較すると、分散が存在しなければならないという条件が一つ多い。

条件で$2$次モーメントが存在しなければならないのを見て、あまりにも簡単で当然の条件だと思うかもしれない。まあある程度は正しい話だが、学部生くらいになったなら、その存在性というものが決して当たり前ではないという事実くらいは知っておこう。

証明

戦略：マルコフの不等式から始めて、二乗を含む不等式は絶対値に関する不等式に置き換えても同じであることを利用する。なお、仮定で分散が存在するので、平均$\mu$の存在性は証明する必要がない。

---

$u(X) : =(X-\mu)^2$としよう。

マルコフの不等式 $$ P(u(X) \ge c) \le {E(u(X)) \over c} $$

$c:=k^2 \sigma^2$とすると $$ P((X-\mu)^2 \ge k^2 \sigma ^2) \le {E((X-\mu)^2) \over {k^2 \sigma^2}} $$ $P((X-\mu)^2 \ge k^2 \sigma ^2) = P(|X-\mu| \ge k \sigma)$であり、$E((X-\mu)^2)=\sigma^2$なので $$ P(|X-\mu| \ge k \sigma) \le {1 \over k^2} $$

■