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指数関数集合と三角関数集合は正規直交基底である 📂フーリエ解析

指数関数集合と三角関数集合は正規直交基底である

要旨

二つの集合{einx}n=−∞∞\left\{ e^{inx} \right\}_{n=-\infty}^\inftyと{cos⁡nx }n=0∞∪{sin⁡nx}n=1∞\left\{ \cos nx\ \right\}_{n=0}^\infty \cup \left\{ \sin nx \right\}_{n=1}^\inftyはL2(−π, π)L^{2}(-\pi,\ \pi)の正規直交基底だ。また、{cos⁡nx}n=0∞\left\{ \cos nx \right\}_{n=0}^{\infty}と{sin⁡nx}n=1∞\left\{ \sin nx \right\}_{n=1}^{\infty}はL2(0, π)L^{2}(0,\ \pi)の正規直交基底だ。

説明

与えられた関数を三角関数の級数で表すフーリエ級数が妥当である理由を説明する事実だ。

証明

ϕn(x)=einx\phi_{n}(x)=e^{inx}とする。そしてf∈L2(−π, π)f \in L^{2}(-\pi,\ \pi)であり、ϵ\epsilonを非常に小さい任意の正数と仮定する。

補題

任意のf∈L2(a, b)f \in L^{2}(a,\ b)に対して、∣fn−f∣→0| f_{n} - f | \rightarrow 0を満たす[a, b][a,\ b]上で滑らかな関数の列{fn}\left\{ f_{n} \right\}が存在する。

すると、補題により次の式を満たすf~\tilde{f}が存在する。

∣f−f~∣<ϵ3 \begin{equation} | f-\tilde{f} | < \frac{\epsilon}{3} \label{eq1} \end{equation}

そして、cn=12π⟨f, ϕn⟩c_{n}=\frac{1}{2\pi}\langle f,\ \phi_{n} \rangleとc~n=12π⟨f~, ϕn⟩\tilde{c}_{n}=\frac{1}{2\pi}\langle \tilde{f},\ \phi_{n} \rangleがffとf~\tilde{f}のフーリエ係数だとする。すると、f~\tilde{f}のフーリエ級数∑c~nϕn\sum \tilde{c}_{n}\phi_{n}はf~\tilde{f}に一様収束し、一様収束するのでノルムで収束する。つまり、以下の式が成立する。

∥f~−∑−NNc~nϕn∥<ϵ3 \begin{equation} \left\| \tilde{f} -\sum \limits_{-N}^{N} \tilde{c}_{n}\phi_{n} \right\| < \dfrac{\epsilon}{3} \label{eq2} \end{equation}

そして、以下の式が成立する。

∥∑−NNc~nϕn−∑−NNcnϕn∥2=∥∑−NN(c~n−cn)ϕn∥2=∑−NN∣c~n−cn∣2∣ϕn∣2=∑−NN12π∣⟨f~−f, ϕn⟩∣2∣ϕn∣2=∑−NN12π∣⟨f~−f, ϕn⟩∣2≤∑−∞∞12π∣⟨f~−f, ϕn⟩∣2≤∣f~−f∣2<(ϵ3)2 \begin{align} \left\| \sum\limits_{-N}^{N}\tilde{c}_{n}\phi_{n} - \sum\limits_{-N}^{N}c_{n}\phi_{n}\right\| ^{2} &= \left\| \sum\limits_{-N}^{N} (\tilde{c}_{n}-c_{n}) \phi_{n} \right\| ^{2} \nonumber \\ &= \sum \limits_{-N}^{N} | \tilde{c}_{n} -c_{n} |^{2} | \phi_{n} |^{2} \nonumber \\ &= \sum \limits_{-N}^{N} \dfrac{1}{2\pi} | \langle \tilde{f}-f,\ \phi_{n} \rangle |^{2} | \phi_{n}|^{2} \nonumber \\ &= \sum \limits_{-N}^{N} \dfrac{1}{2\pi} | \langle \tilde{f}-f,\ \phi_{n} \rangle |^{2} \nonumber \\ &\le \sum \limits_{-\infty}^{\infty} \dfrac{1}{2\pi} | \langle \tilde{f}-f,\ \phi_{n} \rangle |^{2} \nonumber \\ &\le | \tilde{f} - f | ^{2} \nonumber \\ &< \left( \dfrac{\epsilon}{3} \right)^{2} \label{eq3} \end{align}

四番目の等号は∣ϕn∣=1 | \phi_{n} |=1のために成立する。六番目の行はベッセルの不等式によって成立する。最後の行は仮定(eq1)\eqref{eq1}によって成立する。今、(1)(1)、(2)(2)、(3)(3)を使って∣f−∑cnϕn∣→0| f -\sum c_{n}\phi_{n} | \rightarrow 0であることを示せば、証明は完了だ。

f−∑−NNcnϕn=(f−f~)+(f~−∑−NNc~nϕn)+(∑−NNc~nϕn−∑−NNcnϕn) f-\sum \limits_{-N}^{N}c_{n}\phi_{n} = (f-\tilde{f}) + \left( \tilde{f} -\sum _{-N}^{N} \tilde{c}_{n}\phi_{n} \right) + \left( \sum _{-N}^{N} \tilde{c}_{n}\phi_{n} - \sum _{-N}^{N}c_{n}\phi_{n}\right)

上の式が成立するので、三角不等式により、

∥f−∑−NNcnϕn∥≤∥f−f~∥+∥f~−∑−NNc~nϕn∥+∥∑−NNc~nϕn−∑−NNcnϕn∥=ϵ3+ϵ3+ϵ3=ϵ \begin{align*} \left\| f-\sum\limits_{-N}^{N}c_{n}\phi_{n} \right\| &\le \| f-\tilde{f} \| + \left\| \tilde{f} -\sum _{-N}^{N} \tilde{c}_{n}\phi_{n} \right\| + \left\| \sum _{-N}^{N} \tilde{c}_{n}\phi_{n} - \sum _{-N}^{N}c_{n}\phi_{n} \right\| \\ &= \dfrac{\epsilon}{3} + \dfrac{\epsilon}{3} + \dfrac{\epsilon}{3} \\ &= \epsilon \end{align*}

従って、

∥f−∑−∞∞cnϕn∥→0 \left\| f- \sum \limits_{-\infty}^{\infty} c_{n}\phi_{n} \right\| \rightarrow 0

そして、条件 (b)により、{ϕn}\left\{ \phi_{n} \right\}は完全正規直交集合だ。

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残りのケースについては、本質的に同じまたはほぼ同じ過程で証明できるので省略する。