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カントールの定理証明 📂集合論

カントールの定理証明

証明

もしX=X=\emptysetならば、 card(X)=0card(P(X))=1 \operatorname{card}(X)=0 \\ \operatorname{card}(\mathscr{P} (X))=1 従ってcard(X)<card(P(X))\operatorname{card}(X)<\operatorname{card}(\mathscr{P} (X))。一方でXX \ne \emptysetであれば、XXとその冪集合の間には関数が存在するだろう。集合XXの要素xxに対してg(x):=xg(x):={x}として定義されたg:XP(X)g : X \to \mathscr{P} (X)は単射である。そして、 Xg(X)=x,,xXx,,xXP(X) X \sim g(X)={{x} ,|, x\in X} \\ {{x} ,|, x\in X}\subset \mathscr{P} (X) 従ってcard(X)card(P(X))\operatorname{card}(X)\le \operatorname{card}(\mathscr{P} (X))。ここでcard(X)card(P(X))\operatorname{card}(X) \ne \operatorname{card}(\mathscr{P} (X)) を示せば、望む結果を得る。背理法を使うために、一対一の対応f:XP(X)f : X \sim \mathscr{P} (X)が存在すると仮定してみよう。

集合S=xX,,xf(x)S={x\in X ,|, x\notin f(x)}について考えると、SSXXの部分集合f(x)f(x)xxを含まない場合のxxをすべて集めた集合である。確かなのはSXS\subset X、つまりSP(X)S\in \mathscr{P} (X)である。ffの定義によりf:XP(X)f : X \sim \mathscr{P} (X)であり、SSの定義によりSP(X)S\in \mathscr{P} (X)であるから、f(e)=Sf(e)=Sを満たす何らかの要素eXe \in Xが存在しなければならない。この時、eS,eSe \in S, e\notin Sの2つのケースを検討する。

  • ケース1. eSe\in S
    • 集合SSの定義によりef(e)e\notin f(e)であるが、f(e)=Sf(e)=Sよりef(e)=Se\notin f(e)=S、つまりeSe\notin Sである。
  • ケース2. eSe\notin S
    • S=f(e)S=f(e)であるから、eS=f(e)e\notin S=f(e)、つまりef(e)e\notin f(e)であるが、集合SSの定義によりeSe\in Sは矛盾するので、一対一の対応ffは存在しない。したがって、card(X)card(P(X))\operatorname{card}(X) \neq \operatorname{card}(\mathscr{P} (X))であり、結果として card(X)<card(P(X)) \operatorname{card}(X)<\operatorname{card}(\mathscr{P} (X))