カントールの定理証明
📂集合論カントールの定理証明
証明
もしX=∅ならば、
card(X)=0card(P(X))=1
従ってcard(X)<card(P(X))。一方でX=∅であれば、Xとその冪集合の間には関数が存在するだろう。集合Xの要素xに対してg(x):=xとして定義されたg:X→P(X)は単射である。そして、
X∼g(X)=x,∣,x∈Xx,∣,x∈X⊂P(X)
従ってcard(X)≤card(P(X))。ここでcard(X)=card(P(X))を示せば、望む結果を得る。背理法を使うために、一対一の対応f:X∼P(X)が存在すると仮定してみよう。
集合S=x∈X,∣,x∈/f(x)について考えると、SはXの部分集合f(x)がxを含まない場合のxをすべて集めた集合である。確かなのはS⊂X、つまりS∈P(X)である。fの定義によりf:X∼P(X)であり、Sの定義によりS∈P(X)であるから、f(e)=Sを満たす何らかの要素e∈Xが存在しなければならない。この時、e∈S,e∈/Sの2つのケースを検討する。
- ケース1. e∈S
- 集合Sの定義によりe∈/f(e)であるが、f(e)=Sよりe∈/f(e)=S、つまりe∈/Sである。
- ケース2. e∈/S
- S=f(e)であるから、e∈/S=f(e)、つまりe∈/f(e)であるが、集合Sの定義によりe∈Sは矛盾するので、一対一の対応fは存在しない。したがって、card(X)=card(P(X))であり、結果として
card(X)<card(P(X))
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