ルジャンドル多項式のロドリゲスの公式
公式
ルジャンドル多項式の明示的explicitな公式は以下の通りです。
$$ P_{l}(x)=\dfrac{1}{2^{l} l!} \dfrac{d^{l}}{dx^{l}}(x^{2}-1)^{l} \tag{1} $$
説明
$l$番目のルジャンドル多項式を得る公式であり、これをロドリゲスの公式と言います。元々はルジャンドル多項式の明示的な形を示す言葉でしたが、その後、多項式で表される特殊関数の明示的な形を示す公式の一般的な名称となりました。
導出
ルジャンドル多項式$P_{l}$は以下のようなルジャンドルの微分方程式の解を指します。
$$ (1 - x^{2}) \dfrac{d^{2} y}{d x^{2}} - 2x \dfrac{d y}{d x} + l(l+1)y = 0 $$
したがって、$(1)$が上記の微分方程式の解であることを示せば、証明が完了します。
まず、$v=(x^2-1)^l$としたとき、$\dfrac{d^lv}{dx^l}$がルジャンドル方程式の解であることを示すつもりです。その後、$P_{l}(1) = 1$を満たすように正規化して、$(1)$を得ます。
$$ \dfrac{dv}{dx}=l(2x)(x^2-1)^{l-1} $$
両辺に$(x^2-1)$を掛けると、以下の式を得ます。
$$ (x^2-1)\dfrac{dv}{dx}=2lx(x^2-1)^l=2lxv $$
両辺を$l+1$回微分すると、ライプニッツの法則により以下のようになります。
$$ \sum \limits_{k=0}^{l+1} {}_{l+1}\mathrm{C}_{k} \dfrac{ d^{l+1-k}}{dx^{l+1-k} } \left( \dfrac{dv}{dx} \right) \dfrac{d^k}{dx^k} (x^2-1) = 2l\sum \limits_{k=0}^{l+1} {}_{l+1}\mathrm{C} _{k} \dfrac{d^{l+1-k} v}{dx^{l+1-k}} \dfrac{d^k x}{dx^k} $$
このとき、左辺は$k \ge 3$のとき$\dfrac{d^k}{dx^k}(x^2-1)=0$であるため、$k=0,2,3$の項のみが残ります。右辺は$k \ge 2$のとき$\dfrac{d^kx}{dx^k}=0$であるため、$k=1,2$の項のみが残ります。したがって、次のように得られます。
$$ (x^2-1)\dfrac{d^{l+2} v}{dx^{l+2}} + (l+1)(2x)\dfrac{d^{l+1}v}{dx^{l+1}}+\dfrac{l(l+1)}{2!}2\dfrac{d^l v}{dx^l}=2lx\dfrac{d^{l+1} v}{dx^{l+1}} + 2l(l+1)\dfrac{d^lv}{dx^l} $$
同じ係数項をまとめて整理すると、以下のようになります。
$$ (1-x^2)\left( \dfrac{d^l v}{dx^l} \right)^{\prime \prime} -2x\left( \dfrac{d^lv}{dx^l} \right)^{\prime} + l(l+1)\dfrac{d^lv}{dx^l}=0 $$
これはルジャンドル方程式と同じ形です。つまり、$\dfrac{d^l v}{dx^l}$がルジャンドル方程式の解になります。
$$ P_{l}(x)= \dfrac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^l $$
$P_{l}(1) = 1$を満たす係数を求めてみましょう。$(x^2-1)^l$を$(x-1)^l(x+1)^l$で因数分解し、ライプニッツの法則で$l$回微分すると、以下のようになります。
$$ \begin{align*} &\quad \ P_{l}(x) \\ &= \dfrac{d^l}{dx^l} \left[ (x-1)^l (x+1)^l \right] \\ &= \sum\limits_{k=0}^l {}_{l}\mathrm{C}_{k} \dfrac{d^{l-k}}{dx^{l-k}}(x-1)^l \dfrac{d^k}{dx^k}(x+1)^l \\ &= {}_{l}\mathrm{C}_{0} l! (x+1)^l + {}_{l}\mathrm{C}_{1} l!(x-1) l(x+1)^{l-1}+{}_{l}\mathrm{C}_2\dfrac{l!}{2}(x-1)^2l(l-1)(x+1)^{l-2}+\cdots \end{align*} $$
2番目の項からは因数として$(x-1)$を含むため、$x=1$のとき$0$です。したがって、$P_{l}(1)=l! 2^l$であり、この値が$1$になるためには、$\dfrac{1}{2^l l!}$で割ればよいです。したがって、最終的に以下のようなロドリゲスの公式を得ます。
$$ P_{l}(x)=\dfrac{1}{2^l l!}\dfrac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^l $$
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